Seja ( x_{n} ) uma sequência convergente em \mathbb{R}.
(a) Mostre que que ( x_{n} ) é limitada
(b) Mostre que ( x_{n} ) é de Cauchy.
(c) A recíproca é verdadeira em \mathbb{Q} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado fornece uma sequência (x_n) que converge em \mathbb{R}. Ou seja, existe um número \ell\in\mathbb{R} tal que
\lim_{n\to\infty} x_n = \ell.
O que o exercício pede:
(a) Mostrar que (x_n) é limitada (existe M>0 com |x_n|\le M para todo n).
(b) Mostrar que (x_n) é de Cauchy (para todo \varepsilon>0 existe N tal que |x_n-x_m|<\varepsilon sempre que n,m\ge N).
(c) Verificar se a recíproca (ou seja, toda sequência de Cauchy em \mathbb{Q} converge em \mathbb{Q}) é verdadeira; justificar a resposta.

Passo 2

Definição usada (convergência): dizer que \lim_{n\to\infty} x_n=\ell significa que, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que
|x_n-\ell|<\varepsilon\quad\text{sempre que }n\ge N.
Vou usar essa definição com um \varepsilon conveniente para obter um controle uniforme dos termos a partir de certo índice.

Passo 3

Prova de (a) — sequência limitada.
Escolho \varepsilon=1. Pela convergência, existe N tal que
|x_n-\ell|<1\quad\text{para todo }n\ge N.
Isso implica que, para n\ge N,
|x_n| \le |x_n-\ell| + |\ell| < 1 + |\ell|.
Os índices 1,2,\dots,N-1 formam um conjunto finito de termos \{|x_1|,\dots,|x_{N-1}|\}, que tem máximo finito. Defina
M := \max\big\{\,|x_1|,\dots,|x_{N-1}|,\;1+|\ell|\,\big\}.
Então para todo n temos |x_n|\le M. Portanto (x_n) é limitada.
Comentário didático curto: a ideia é simples — depois de um certo índice todos os termos ficam próximos do limite \ell, e isso garante um módulo pequeno; os poucos termos iniciais não atrapalham porque são finitos e têm máximo finito.

Passo 4

Prova de (b) — sequência convergente implica sequência de Cauchy.
Definição usada (Cauchy): (x_n) é de Cauchy se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que
|x_n-x_m|<\varepsilon\quad\text{sempre que }n,m\ge N.
Seja \varepsilon>0 dado. Pela convergência x_n\to\ell existe N tal que
|x_n-\ell|<\frac{\varepsilon}{2}\quad\text{para todo }n\ge N.
Para quaisquer n,m\ge N aplicamos a desigualdade triangular:
|x_n-x_m| \le |x_n-\ell| + |x_m-\ell| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Logo existe N (o mesmo) que garante |x_n-x_m|<\varepsilon sempre que n,m\ge N. Isso prova que (x_n) é de Cauchy.
Comentário didático curto: convergência significa que ambos x_n e x_m ficam perto do mesmo \ell quando n,m são grandes; pelas somas dessas distâncias (desigualdade triangular) concluímos que x_n e x_m ficam próximos entre si.

Passo 5

Parte (c) — a recíproca em \mathbb{Q}: é verdadeira?
Resposta curta: não, a recíproca NÃO é verdadeira em \mathbb{Q}. Justificativa com contraexemplo.
Considere \sqrt{2}, que é irracional. Construa uma sequência de números racionais que aproxima \sqrt{2}, por exemplo as trunchas decimais
q_n := \frac{\lfloor \sqrt{2}\cdot 10^n\rfloor}{10^n}\in\mathbb{Q}.
Cada q_n é racional e q_n\to\sqrt{2} quando n\to\infty (pois são truncamentos decimais que se aproximam do valor real). Como q_n converge em \mathbb{R}, pelo item (b) ela é Cauchy (na métrica usual). Portanto (q_n) é uma sequência de Cauchy cujos termos são todos racionais — ou seja, é Cauchy em \mathbb{Q} (a propriedade de ser Cauchy depende apenas das distâncias, que são as mesmas em \mathbb{Q} e em \mathbb{R}).
Porém (q_n) não converge em \mathbb{Q}, porque seu limite em \mathbb{R} é \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}. Se existisse r\in\mathbb{Q} tal que q_n\to r em \mathbb{Q}, então também q_n\to r em \mathbb{R} e, pela unicidade do limite em \mathbb{R}, teríamos r=\sqrt{2}, contradição. Logo não converge em \mathbb{Q}.
Explicação conceitual: isto mostra que \mathbb{R} é completo (toda sequência de Cauchy converge em \mathbb{R}), enquanto \mathbb{Q} NÃO é completo — existem sequências de Cauchy em \mathbb{Q} cujo limite necessário está fora de \mathbb{Q}.

Passo 6

Resumo amigável: convergência em \mathbb{R} garante duas coisas úteis — a sequência fica limitada e os termos se aproximam uns dos outros (Cauchy). Mas cuidado: em espaços não completos como \mathbb{Q}, ser Cauchy não garante convergência dentro do mesmo espaço; pode faltar o limite (como no caso de aproximações de números irracionais). Vá com calma na prova da prova — na prova da prova, o truque do \varepsilon=1 para mostrar limite é clássico e funciona sempre; para Cauchy use \varepsilon/2 e a desigualdade triangular. Você está indo bem — repassa esses dois truques antes da prova que eles caem muito.

Resposta

(a) (x_n) é limitada.
(b) (x_n) é de Cauchy.
(c) Não. Contraexemplo: a sequência de truncamentos decimais q_n=\dfrac{\lfloor\sqrt{2}\,10^n\rfloor}{10^n}\in\mathbb{Q} é Cauchy em \mathbb{Q} mas não converge em \mathbb{Q} (seu limite em \mathbb{R} é \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}).

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