Seja (
) uma sequência convergente em
.
(a) Mostre que que (
) é limitada
(b) Mostre que (
) é de Cauchy.
(c) A recíproca é verdadeira em
? Justifique.
(a) Mostre que que (
(b) Mostre que (
(c) A recíproca é verdadeira em
Passo 1
O enunciado fornece uma sequência
que converge em
. Ou seja, existe um número
tal que
O que o exercício pede:
(a) Mostrar que é limitada (existe
com
para todo
).
(b) Mostrar que é de Cauchy (para todo
existe
tal que
sempre que
).
(c) Verificar se a recíproca (ou seja, toda sequência de Cauchy em converge em
) é verdadeira; justificar a resposta.
(a) Mostrar que
(b) Mostrar que
(c) Verificar se a recíproca (ou seja, toda sequência de Cauchy em
Passo 2
Definição usada (convergência): dizer que
significa que, para todo
, existe
tal que
Vou usar essa definição com um
conveniente para obter um controle uniforme dos termos a partir de certo índice.
Passo 3
Prova de (a) — sequência limitada.
Escolho
. Pela convergência, existe
tal que
Isso implica que, para
,
Os índices
formam um conjunto finito de termos
, que tem máximo finito. Defina
Então para todo
temos
. Portanto
é limitada.
Comentário didático curto: a ideia é simples — depois de um certo índice todos os termos ficam próximos do limite
, e isso garante um módulo pequeno; os poucos termos iniciais não atrapalham porque são finitos e têm máximo finito.
Passo 4
Prova de (b) — sequência convergente implica sequência de Cauchy.
Definição usada (Cauchy):
é de Cauchy se, para todo
, existe
tal que
Seja
dado. Pela convergência
existe
tal que
Para quaisquer
aplicamos a desigualdade triangular:
Logo existe
(o mesmo) que garante
sempre que
. Isso prova que
é de Cauchy.
Comentário didático curto: convergência significa que ambos
e
ficam perto do mesmo
quando
são grandes; pelas somas dessas distâncias (desigualdade triangular) concluímos que
e
ficam próximos entre si.
Passo 5
Parte (c) — a recíproca em
: é verdadeira?
Resposta curta: não, a recíproca NÃO é verdadeira em
. Justificativa com contraexemplo.
Considere
, que é irracional. Construa uma sequência de números racionais que aproxima
, por exemplo as trunchas decimais
Cada
é racional e
quando
(pois são truncamentos decimais que se aproximam do valor real). Como
converge em
, pelo item (b) ela é Cauchy (na métrica usual). Portanto
é uma sequência de Cauchy cujos termos são todos racionais — ou seja, é Cauchy em
(a propriedade de ser Cauchy depende apenas das distâncias, que são as mesmas em
e em
).
Porém
não converge em
, porque seu limite em
é
. Se existisse
tal que
em
, então também
em
e, pela unicidade do limite em
, teríamos
, contradição. Logo não converge em
.
Explicação conceitual: isto mostra que
é completo (toda sequência de Cauchy converge em
), enquanto
NÃO é completo — existem sequências de Cauchy em
cujo limite necessário está fora de
.
Passo 6
Resumo amigável: convergência em
garante duas coisas úteis — a sequência fica limitada e os termos se aproximam uns dos outros (Cauchy). Mas cuidado: em espaços não completos como
, ser Cauchy não garante convergência dentro do mesmo espaço; pode faltar o limite (como no caso de aproximações de números irracionais). Vá com calma na prova da prova — na prova da prova, o truque do
para mostrar limite é clássico e funciona sempre; para Cauchy use
e a desigualdade triangular. Você está indo bem — repassa esses dois truques antes da prova que eles caem muito.
Resposta
(a)
é limitada.
(b) é de Cauchy.
(c) Não. Contraexemplo: a sequência de truncamentos decimais é Cauchy em
mas não converge em
(seu limite em
é
).
(b)
(c) Não. Contraexemplo: a sequência de truncamentos decimais