(a) Mostre que det é um homomorfismo de grupos.
(b) Encontre o núcleo e a imagem deste homomorfismo.
(b) Encontre o núcleo e a imagem deste homomorfismo.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Mostrar que a aplicação determinante é um homomorfismo de grupos.
- (b) Determinar o núcleo e a imagem desse homomorfismo.
Informações dadas (assumidas para o enunciado):
- Trabalhamos com o grupo
das matrizes invertíveis com entradas em , sob multiplicação de matrizes. - A aplicação considerada é a determinante
onde
é o grupo multiplicativo dos reais não nulos.
O que precisamos mostrar e encontrar:
- Mostrar que para todos
vale e que (isso garante que é homomorfismo de grupos). - Encontrar
e .
Passo 2
Definições e lembretes úteis (explicados com calma):
- Um homomorfismo de grupos entre dois grupos
e é uma função tal que, para todo ,
No nosso caso querermos
para
.
- O núcleo de um homomorfismo
é , onde é o elemento neutro de . - A imagem é
.
Vou agora explicar por que a determinante satisfaz a propriedade multiplicativa. Para isso preciso lembrar o caráter multilinear e alternante da determinante.
Passo 3
O que significa que a determinante é multilinear e alternante (explicação didática):
- Pense numa matriz como uma coleção de colunas. Escreve-se
onde cada é a coluna . - A função
vista como função das colunas
é multilinear: isso quer dizer que, fixadas todas as colunas exceto a
-ésima, a determinante é uma função linear na coluna
. Em termos práticos, se trocar a coluna
por
, a determinante responde linearmente em
e
.
- É alternante: se duas colunas são iguais, a determinante vale zero; trocar duas colunas muda o sinal da determinante.
- Além disso, é normalizada por
.
Essas propriedades (multilinearidade, alternância e normalização) caracterizam a determinante de modo único.
Passo 4
Prova da propriedade multiplicativa
usando a unicidade da forma multilinear:
- Fixe
e considere a aplicação que a cada associa
- Observe as colunas de
. Se , então a coluna de é . Como a operação é linear em (multiplicação de vetor por matriz é linear), e a determinante é multilinear nas colunas, segue que a aplicação é multilinear nas colunas de . Também é alternante porque se duas colunas de coincidem então as colunas correspondentes de também coincidem, forçando . - Logo
é uma forma multilinear alternante nas colunas de . Pela unicidade da determinante (a única forma multilinear alternante normalizada por ter valor em ), existe um escalar tal que, para todo ,
- Para encontrar
basta avaliar em :
- Assim para todo
vale
Isso é exatamente a propriedade multiplicativa que definirá o homomorfismo.
(Comentário prático: essa é a maneira elegante e padrão de provar multiplicatividade; há também provas via fórmula de Leibniz/permutação ou via interpretação geométrica como fator de escala de volume, mas a prova por unicidade da forma multilinear é curta e conceitualmente limpa.)
Passo 5
Concluir que
é homomorfismo e propriedades úteis:
- Pelo Passo 4, para todos
temos . Além disso . Portanto
é um homomorfismo de grupos (dos invertíveis sob multiplicação para os reais não nulos sob multiplicação).
- Uma consequência simples: para
,
logo
Isso é coerente com ser homomorfismo entre grupos.
Passo 6
Encontrar o núcleo
:
- Por definição do núcleo,
- Esse conjunto tem nome padrão: é o grupo especial linear
- Mostre (rápido) que é de fato um subgrupo: se
então , e . Portanto é fechado sob produto e inverso.
Passo 7
Encontrar a imagem
:
- Primeiro, para qualquer
temos , portanto . - Para ver que toda constante não nula aparece como determinante, tome
(ou seja, ). Considere a matriz diagonal
ou seja, a matriz com
no primeiro elemento da diagonal e
nas demais. Essa matriz é invertível (pois
) e
- Assim, para qualquer
existe com . Logo
(Observação geral: o mesmo raciocínio funciona sobre qualquer corpo
:
é homomorfismo,
e
.)
Passo 8
Recapitulando de forma prática (para decorar e usar numa prova):
- A prova chave é a propriedade multiplicativa
, que se demonstra observando que é uma forma multilinear alternante em e, pela unicidade da determinante, é igual a . - Núcleo:
. - Imagem:
.
Força aí — essa é uma das propriedades mais úteis da determinante e cai direto em várias provas. Se quiser, eu te mostro o argumento com um exemplo concreto em
para ficar ainda mais claro.
Resposta
(a)
é homomorfismo de grupos, pois
para todos
.\n
(b)
e
(todos os reais não nulos).
(b)