(a) Mostre que det é um homomorfismo de grupos.
(b) Encontre o núcleo e a imagem deste homomorfismo.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Mostrar que a aplicação determinante é um homomorfismo de grupos.
  • (b) Determinar o núcleo e a imagem desse homomorfismo.
Informações dadas (assumidas para o enunciado):
  • Trabalhamos com o grupo GL_n(\mathbb{R}) das matrizes invertíveis n\times n com entradas em \mathbb{R}, sob multiplicação de matrizes.
  • A aplicação considerada é a determinante
\det: GL_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^\times,
onde \mathbb{R}^\times é o grupo multiplicativo dos reais não nulos.
O que precisamos mostrar e encontrar:
  • Mostrar que para todos A,B\in GL_n(\mathbb{R}) vale \det(AB)=\det(A)\det(B) e que \det(I)=1 (isso garante que \det é homomorfismo de grupos).
  • Encontrar \ker(\det)=\{A\in GL_n(\mathbb{R})\mid \det(A)=1\} e \mathrm{Im}(\det)=\{\det(A)\mid A\in GL_n(\mathbb{R})\}.

Passo 2

Definições e lembretes úteis (explicados com calma):
  • Um homomorfismo de grupos entre dois grupos G e H é uma função \varphi:G\to H tal que, para todo x,y\in G,
\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y).
No nosso caso querermos \det(AB)=\det(A)\det(B) para A,B\in GL_n(\mathbb{R}).
  • O núcleo de um homomorfismo \varphi:G\to H é \ker(\varphi)=\{g\in G\mid \varphi(g)=e_H\}, onde e_H é o elemento neutro de H.
  • A imagem é \mathrm{Im}(\varphi)=\{\varphi(g)\mid g\in G\}.
Vou agora explicar por que a determinante satisfaz a propriedade multiplicativa. Para isso preciso lembrar o caráter multilinear e alternante da determinante.

Passo 3

O que significa que a determinante é multilinear e alternante (explicação didática):
  • Pense numa matriz como uma coleção de colunas. Escreve-se A=[v_1\; v_2\; \dots\; v_n] onde cada v_j\in\mathbb{R}^n é a coluna j.
  • A função \det vista como função das colunas
(v_1,\dots,v_n)\longmapsto \det([v_1\;\dots\;v_n])
é multilinear: isso quer dizer que, fixadas todas as colunas exceto a j-ésima, a determinante é uma função linear na coluna v_j. Em termos práticos, se trocar a coluna j por a v_j + b w, a determinante responde linearmente em a e b.
  • É alternante: se duas colunas são iguais, a determinante vale zero; trocar duas colunas muda o sinal da determinante.
  • Além disso, é normalizada por \det(I)=1.
Essas propriedades (multilinearidade, alternância e normalização) caracterizam a determinante de modo único.

Passo 4

Prova da propriedade multiplicativa \det(AB)=\det(A)\det(B) usando a unicidade da forma multilinear:
  • Fixe A\in GL_n(\mathbb{R}) e considere a aplicação f que a cada B\in M_{n}(\mathbb{R}) associa
f(B) := \det(AB).
  • Observe as colunas de AB. Se B=[w_1\;\dots\;w_n], então a coluna j de AB é A w_j. Como a operação w_j\mapsto Aw_j é linear em w_j (multiplicação de vetor por matriz é linear), e a determinante é multilinear nas colunas, segue que a aplicação B\mapsto \det(AB) é multilinear nas colunas de B. Também é alternante porque se duas colunas de B coincidem então as colunas correspondentes de AB também coincidem, forçando \det(AB)=0.
  • Logo f é uma forma multilinear alternante nas colunas de B. Pela unicidade da determinante (a única forma multilinear alternante normalizada por ter valor 1 em I), existe um escalar c tal que, para todo B,
f(B)=c\cdot \det(B).
  • Para encontrar c basta avaliar em B=I:
c = f(I) = \det(AI)=\det(A).
  • Assim para todo B vale
\det(AB)=f(B)=\det(A)\det(B).
Isso é exatamente a propriedade multiplicativa que definirá o homomorfismo.
(Comentário prático: essa é a maneira elegante e padrão de provar multiplicatividade; há também provas via fórmula de Leibniz/permutação ou via interpretação geométrica como fator de escala de volume, mas a prova por unicidade da forma multilinear é curta e conceitualmente limpa.)

Passo 5

Concluir que \det é homomorfismo e propriedades úteis:
  • Pelo Passo 4, para todos A,B\in GL_n(\mathbb{R}) temos \det(AB)=\det(A)\det(B). Além disso \det(I)=1. Portanto
\det: GL_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R}^\times
é um homomorfismo de grupos (dos invertíveis sob multiplicação para os reais não nulos sob multiplicação).
  • Uma consequência simples: para A\in GL_n(\mathbb{R}),
1=\det(I)=\det(AA^{-1})=\det(A)\det(A^{-1}),
logo
\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}.
Isso é coerente com ser homomorfismo entre grupos.

Passo 6

Encontrar o núcleo \ker(\det):
  • Por definição do núcleo,
\ker(\det)=\{A\in GL_n(\mathbb{R})\mid \det(A)=1\}.
  • Esse conjunto tem nome padrão: é o grupo especial linear
\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})=\{A\in GL_n(\mathbb{R})\mid \det(A)=1\}.
  • Mostre (rápido) que é de fato um subgrupo: se A,B\in\mathrm{SL}_n(\mathbb{R}) então \det(AB)=\det(A)\det(B)=1\cdot1=1, e \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}=1. Portanto é fechado sob produto e inverso.

Passo 7

Encontrar a imagem \mathrm{Im}(\det):
  • Primeiro, para qualquer A\in GL_n(\mathbb{R}) temos \det(A)\neq 0, portanto \mathrm{Im}(\det)\subseteq \mathbb{R}^\times.
  • Para ver que toda constante não nula aparece como determinante, tome r\in\mathbb{R}^\times (ou seja, r\neq 0). Considere a matriz diagonal
D = \operatorname{diag}(r,1,1,\dots,1),
ou seja, a matriz com r no primeiro elemento da diagonal e 1 nas demais. Essa matriz é invertível (pois r\neq 0) e
\det(D)=r\cdot 1\cdot\ldots\cdot 1 = r.
  • Assim, para qualquer r\in\mathbb{R}^\times existe D\in GL_n(\mathbb{R}) com \det(D)=r. Logo
\mathrm{Im}(\det)=\mathbb{R}^\times.
(Observação geral: o mesmo raciocínio funciona sobre qualquer corpo \mathbb{K}: \det:GL_n(\mathbb{K})\to \mathbb{K}^\times é homomorfismo, \ker(\det)=SL_n(\mathbb{K}) e \mathrm{Im}(\det)=\mathbb{K}^\times.)

Passo 8

Recapitulando de forma prática (para decorar e usar numa prova):
  • A prova chave é a propriedade multiplicativa \det(AB)=\det(A)\det(B), que se demonstra observando que B\mapsto\det(AB) é uma forma multilinear alternante em B e, pela unicidade da determinante, é igual a \det(A)\det(B).
  • Núcleo: \ker(\det)=\mathrm{SL}_n(\mathbb{R}).
  • Imagem: \mathrm{Im}(\det)=\mathbb{R}^\times.
Força aí — essa é uma das propriedades mais úteis da determinante e cai direto em várias provas. Se quiser, eu te mostro o argumento com um exemplo concreto em 2\times2 para ficar ainda mais claro.

Resposta

(a) \det:GL_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^\times é homomorfismo de grupos, pois \det(AB)=\det(A)\det(B) para todos A,B\in GL_n(\mathbb{R}).\n
(b) \ker(\det)=\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})=\{A\in GL_n(\mathbb{R})\mid \det(A)=1\} \qquad e \qquad\mathrm{Im}(\det)=\mathbb{R}^\times (todos os reais não nulos).

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