Seja F=nabla f, desenhe F no conjunto A, onde:
f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2 e o conjunto A é x^2+y^2+z^2, x>0, y>0 e z>0.

Passo 1

O enunciado define f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 e pede para desenhar o campo vetorial vec F=nabla f no conjunto A dado por
x^2+y^2+z^2,,;x>0,;y>0,;z>0
Note que falta no enunciado o sinal de igualdade ou desigualdade em x^2+y^2+z^2; pelo contexto de “desenhar” costuma-se interpretar A como a parte da esfera de raio 1 no primeiro octante, isto é
A=l(x,y,z)mid x^2+y^2+z^2=1,;x>0,;y>0,;z>0r
O conteúdo usado aqui é o cálculo do gradiente e interpretação geométrica de campos vetoriais.

Passo 2

Calculemos o gradiente de f. Por definição
nabla f=l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr)
Como
partial fpartial x=2x, partial fpartial y=2y, partial fpartial z=2z,
segue-se que
vec F(x,y,z)=nabla f(x,y,z)=(2x,,2y,,2z)

Passo 3

Interpretando vec F=(2x,2y,2z):
  1. A direção de vec F em cada ponto (x,y,z) é a direção radial que vai do ponto em direção ao exterior (pois é paralelo a (x,y,z)).
  2. O módulo de vec F é
|vec F|=raiz(2x)^2+(2y)^2+(2z)^2 =2raizx^2+y^2+z^2

Passo 4

Na esfera de raio 1 temos x^2+y^2+z^2=1, logo em A
|vec F|=2raiz1=2
E como x>0,y>0,z>0, todas as componentes de vec F são positivas. Portanto, em cada ponto da esfera no primeiro octante, vec F é um vetor de comprimento constante igual a 2, apontando perpendicularmente à superfície (para fora).

Resposta

Em A (primeiro octante da esfera unitária), o campo vec F é composto por vetores radiais de comprimento 2. Ou seja, em cada ponto (x,y,z) com x,y,z>0 e x^2+y^2+z^2=1, desenhe um vetor de extremidade em (x,y,z), paralelo a (x,y,z) e com módulo igual a 2, apontando para fora da esfera.

Exercícios relacionados