(1,5 pontos) Construa uma transformação linear T: R^3 R^3 cujo núcleo seja a reta gerada por (1,1,1) cuja imagem seja o plano W=(x, y, z): 2 x-y+z=0.

Passo 1

O que a questão pede? A gente quer uma transformação linear
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
tal que
  1. o núcleo (kernel) seja a reta gerada por (1,1,1), ou seja
    ker T=span(1,1,1),
  2. a imagem (image) seja o plano
    W=(x,y,z):2x-y+z=0.
    Conteúdo usado: transformações lineares, núcleo e imagem, teorema da dimensão (nulidade + posto), escolha de bases e matriz.

Passo 2

Primeiro, pela relação núcleo–imagem (teorema do posto e nulidade):
dimker T + dimImT =3.
Como ker T é uma reta, dimker T=1, logo
dimImT=2.
Isso faz sentido, pois W é um plano (dimensão 2).

Passo 3

Vamos achar uma base de W. A equação de W é
2x - y + z = 0
Basta escolher dois vetores independentes que satisfaçam isso. Por exemplo:
  • Para x=1, y=0 vem 2cdot1-0+z=0implies z=-2, então
w1=(1,0,-2)in W
  • Para x=0, y=1 vem 2cdot0-1+z=0implies z=1, então
w2=(0,1,1)in W
É fácil checar que w1,w2 são independentes, logo formam base de W.

Passo 4

Agora a gente define T mandando um gerador do núcleo em zero e dois vetores de uma base complementar em w1,w2.
  1. O gerador do núcleo é v3=(1,1,1), então queremos
T(v3)=T(1,1,1)=0
  1. Para completar base de R^3, escolhemos os vetores padrão
    e1=(1,0,0) e e2=(0,1,0).
    Aí definimos
T(e1)=w1=(1,0,-2), T(e2)=w2=(0,1,1)
  1. Para garantir T(e1+e2+e3)=T(v3)=0, basta fazer
T(e3)=-,T(e1)-T(e2) =-(w1+w2) =(-1,-1,1)

Passo 5

Como qualquer (x,y,z) é x e1+y e2+z e3, a regra de T fica
T(x,y,z) = xT(e1)+yT(e2)+zT(e3) = x(1,0,-2) + y(0,1,1) + z(-1,-1,1)
Somando coordenada a coordenada:
T(x,y,z) =l(x - z,; y - z,; -2x + y + zr)

Resposta

Uma transformação que funciona é
boxedT(x,y,z)=l(x - z,;y - z,;-2x + y + zr)

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