(1,5 pontos) Construa uma transformação linear
cujo núcleo seja a reta gerada por
cuja imagem seja o plano
.
Passo 1
O que a questão pede? A gente quer uma transformação linear
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
tal que
- o núcleo (kernel) seja a reta gerada por
, ou seja
, - a imagem (image) seja o plano
.
Conteúdo usado: transformações lineares, núcleo e imagem, teorema da dimensão (nulidade + posto), escolha de bases e matriz.
Passo 2
Primeiro, pela relação núcleo–imagem (teorema do posto e nulidade):
.
Como é uma reta,
, logo
.
Isso faz sentido, pois é um plano (dimensão 2).
Como
Isso faz sentido, pois
Passo 3
Vamos achar uma base de
. A equação de
é
Basta escolher dois vetores independentes que satisfaçam isso. Por exemplo:
- Para
vem , então
- Para
vem , então
É fácil checar que
são independentes, logo formam base de
.
Passo 4
Agora a gente define
mandando um gerador do núcleo em zero e dois vetores de uma base complementar em
.
- O gerador do núcleo é
, então queremos
- Para completar base de
, escolhemos os vetores padrão
e .
Aí definimos
- Para garantir
, basta fazer
Passo 5
Como qualquer
é
, a regra de
fica
Somando coordenada a coordenada:
Resposta
Uma transformação que funciona é