Seja k neq 0 número real fixado. Considere a função f definida por
f(x)=arctg(k x)+arctg(5x)
Para que valores de k o polinômio de Taylor com centro em 1 e de grau 1 é uma função constante?
k=5 ou k=1 / 5
k=5 ou k=-1 / 5
k=6 ou k=-1 / 5
k=6 ou k=1 / 6
k=-6 ou k=-1 / 6

Passo 1

Temos a função definida por
f(x)=arctg(k x)+arctggl(5xgr)

Passo 2

O conteúdo envolve o polinômio de Taylor de grau 1 centrado em 1. Para que esse polinômio seja constante, precisamos que o coeficiente linear seja zero, isto é, que
f'(1)=0
Vamos então calcular a derivada de f. Usando ddx[arctg(u)]=u'1+u^2:
f'(x)=ddxl[arctg(k x)r]+ddxl[arctg(5/x)r]=k1+k^2x^2-5/x^21+(5/x)^2=k1+k^2x^2-5x^2+25

Passo 3

Agora avaliamos em x=1 e igualamos a zero:
f'(1)=k1+k^2-526=0

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 26(1+k^2) obtemos a equação quadrática:
26k=5(1+k^2)Longrightarrow5k^2-26k+5=0

Passo 5

Resolvendo-a pelo discriminante De, temos raízes
k=26pm2410,isto é,
k=5ou k=15

Resposta

k=5 ou k=1/5

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