Das as funções e faça o que se pede.
a) Calcule o Wronskiano das funções e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três funções: , e . A pergunta é para calcular o Wronskiano dessas funções. O Wronskiano é uma ferramenta que usamos na matemática, especialmente em equações diferenciais, para verificar se um conjunto de funções é linearmente independente. Para calcular o Wronskiano, vamos precisar das primeiras e segundas derivadas dessas funções e depois montar uma matriz determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular derivadas. A derivada de uma função nos dá a sua taxa de variação. A gente vai precisar das primeiras e segundas derivadas de cada função.
Começando com :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora, :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
E por fim, :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 3
Agora que temos as derivadas, vamos montar a matriz do Wronskiano. Para três funções, o Wronskiano é uma matriz 3x3 onde cada linha corresponde a uma função e suas derivadas até a segunda ordem:
Substituindo as funções e suas derivadas, temos:
Passo 4
Vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz 3x3, o determinante W = y1 cdot (y2' cdot y3'' - y2'' cdot y3') - y2 cdot (y1' cdot y3'' - y1'' cdot y3') + y3 cdot (y1' cdot y2'' - y1'' cdot y2')) é calculado assim: