Das as funções y1=x^2, y2=1-x^2 e y3=2+x^3 faça o que se pede.
a) Calcule o Wronskiano das funções y1, y2 e y3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três funções: , e . A pergunta é para calcular o Wronskiano dessas funções. O Wronskiano é uma ferramenta que usamos na matemática, especialmente em equações diferenciais, para verificar se um conjunto de funções é linearmente independente. Para calcular o Wronskiano, vamos precisar das primeiras e segundas derivadas dessas funções e depois montar uma matriz determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular derivadas. A derivada de uma função nos dá a sua taxa de variação. A gente vai precisar das primeiras e segundas derivadas de cada função.
Começando com :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
Agora, :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
E por fim, :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:

Passo 3

Agora que temos as derivadas, vamos montar a matriz do Wronskiano. Para três funções, o Wronskiano W = y1 & y2 & y3 y1' & y2' & y3' y1'' & y2'' & y3'' é uma matriz 3x3 onde cada linha corresponde a uma função e suas derivadas até a segunda ordem:
W = x^2 & 1 - x^2 & 2 + x^3 2x & -2x & 3x^2 2 & -2 & 6x
Substituindo as funções e suas derivadas, temos:

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz 3x3, o determinante W = y1 cdot (y2' cdot y3'' - y2'' cdot y3') - y2 cdot (y1' cdot y3'' - y1'' cdot y3') + y3 cdot (y1' cdot y2'' - y1'' cdot y2')) é calculado assim:
W = x^2 cdot (-2 cdot 6x - (-2) cdot 3x^2) - (1 - x^2) cdot (2x cdot 6x - 2 cdot 3x^2) + (2 + x^3) cdot (2x cdot (-2) - 2 cdot (-2x))
Substituindo os valores:
-2 cdot 6x = -12x
Simplificando cada parte:
Para o primeiro termo:
-2 cdot 3x^2 = -6x^2
-12x - (-6x^2) = -12x + 6x^2
Então:
x^2 cdot (-12x + 6x^2) = -12x^3 + 6x^4
Multiplicando por 2x cdot 6x = 12x^2 :
2 cdot 3x^2 = 6x^2
Para o segundo termo:
12x^2 - 6x^2 = 6x^2
- (1 - x^2) cdot 6x^2 = -6x^2 + 6x^4
Então:
2x cdot (-2) = -4x
Multiplicando por 2 cdot (-2x) = -4x :
-4x - (-4x) = -4x + 4x = 0
Para o terceiro termo:
(2 + x^3) cdot 0 = 0
Então:
Multiplicando por :

Passo 5

Agora, somamos todos os termos calculados:
-12x^3 + 6x^4 - 6x^2 + 6x^4 + 0 = 12x^4 - 12x^3 - 6x^2

Resposta

O Wronskiano das funções W = 12x^4 - 12x^3 - 6x^2 e é:

Exercícios relacionados