Exercício (4.A.4)
Resolva a equação do calor unidimensional na semireta
cc partial upartial t(x, t)=partial^2 upartial x^2(x, t) & x>0, t>0 u(x, 0)=f(x) & x>0
Considere como condições de contorno os seguintes casos abaixo:
partial upartial x(0, t)=0
(Dica: Para cada caso, use extensão ímpar ou par de f em R ).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação do calor unidimensional em x>0 com condição inicial u(x,0)=f(x) e condição de contorno Neumann partialx u(0,t)=0. Vamos usar a reflexão em R para transformar o problema num problema equivalente na reta inteira.

Passo 2

Para impor a condição partialx u(0,t)=0 automaticamente, estendemos a função inicial f de modo par em toda a reta: definimos frm even(x)=f(|x|) para xinR. Assim teremos frm even'(0)=0.

Passo 3

Na reta inteira, a solução da equação do calor com dado inicial frm even(x) é dada pela convolução com o núcleo de calor G(s,t)=1raiz4pi te^-s^2/(4t). Assim
u(x,t)=integral-infty^+inftyG(x-y,t),frm even(y),dy

Passo 4

Separando a integral em partes sobre ( -infty,0) e (0,infty) e usando que frm even(-y)=f(y), obtemos
u(x,t)=integral0^inftyG(x-y,t)f(y),dy+integral0^inftyG(x+y,t)f(y),dy

Resposta

u(x,t)=integral0^infty1raiz4pi tl(e^-(x-y)^2/(4t)+e^-(x+y)^2/(4t)r),f(y),dy

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