Exercício (4.A.4)
Resolva a equação do calor unidimensional na semireta
Considere como condições de contorno os seguintes casos abaixo:
(Dica: Para cada caso, use extensão ímpar ou par de
em
).
Resolva a equação do calor unidimensional na semireta
(Dica: Para cada caso, use extensão ímpar ou par de
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação do calor unidimensional em x>0 com condição inicial u(x,0)=f(x) e condição de contorno Neumann
. Vamos usar a reflexão em R para transformar o problema num problema equivalente na reta inteira.
Passo 2
Para impor a condição
automaticamente, estendemos a função inicial
de modo par em toda a reta: definimos
para
. Assim teremos
.
Passo 3
Na reta inteira, a solução da equação do calor com dado inicial
é dada pela convolução com o núcleo de calor
. Assim
Passo 4
Separando a integral em partes sobre
e
e usando que
, obtemos