Seja o número complexo z=10+10 i, no qual i^{2}=-1.A forma trigonométrica que representa este número é?

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z=10+10i (com i^{2}=-1) e pede a forma trigonométrica que o representa.
Informações relevantes que temos:
  • Parte real: x=10.
  • Parte imaginária: y=10.
    O que se pede: escrever z na forma trigonométrica r(\cos\theta + i\sin\theta), encontrando r e \theta.

Passo 2

Lembrete/definição importante (fórmulas que vou usar). Para um complexo z=x+iy:
r=\lvert z\rvert=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
onde r é o módulo (distância do ponto (x,y) à origem), e o argumento \theta satisfaz
\tan\theta=\frac{y}{x}.
Aqui x e y são as coordenadas (parte real e imaginária). Atenção: \arctan(y/x) dá um valor que precisa ser ajustado conforme o quadrante onde (x,y) está.

Passo 3

Calcular o módulo r usando x=10 e y=10:
r=\sqrt{10^{2}+10^{2}}=\sqrt{100+100}=\sqrt{200}.
Simplificando \sqrt{200}:
\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2}.
Portanto r=10\sqrt{2}.

Passo 4

Calcular o argumento \theta pela tangente:
\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{10}{10}=1.
Logo \theta=\arctan(1). Sabendo os valores notáveis, \arctan(1)=\frac{\pi}{4} (ou 45^\circ).
Agora o ajuste por quadrante: como x=10>0 e y=10>0, o ponto está no primeiro quadrante, então o valor \theta=\frac{\pi}{4} é o correto (não precisa somar \pi ou trocar sinal).

Passo 5

Montar a forma trigonométrica padrão z=r(\cos\theta + i\sin\theta) substituindo r e \theta:
z=10\sqrt{2}\big(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\big).

Passo 6

Verificação rápida (para ter certeza na prova): \cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}. Multiplicando:
10\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=10\cdot\frac{2}{2}=10,
portanto
10\sqrt{2}\big(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\big)=10+10i,
o que confirma que a forma trigonométrica está correta.

Resposta

10\sqrt{2}\big(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\big)

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