(UFF) Sendo i a unidade imaginária, para que z=\frac{4 x-i}{4-x i} ; x \in R, seja um número real, é necessário que x seja igual a ?

Passo 1

O enunciado dá a expressão \,z=\dfrac{4x-i}{4-x i}\, com x\in\mathbb{R} e pede: para quais valores de x esse número complexo z é um número real?
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A variável x é real.
  • A expressão de z é \dfrac{4x-i}{4-x i}.
  • É necessário encontrar todos os x\in\mathbb{R} tais que z seja real (ou seja, a parte imaginária de z seja zero).

Passo 2

Ideia principal (explicação didática e intuitiva): um número complexo z é real quando a sua parte imaginária é zero. Para escrever z na forma padrão \,a+ib\, (com a,b reais) é útil multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador — isso “racionaliza” o denominador e permite separar a parte real e imaginária.
Lembrete sobre conjugado: se w = u+iv com u,v\in\mathbb{R}, o conjugado é \overline{w}=u-iv. Multiplicar por \overline{w} anula a parte imaginária no denominador, porque w\overline{w}=u^2+v^2 (um número real positivo se w\neq0).

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: o denominador é 4-x i. O conjugado do denominador é 4+x i. Multiplica-se numerador e denominador por esse conjugado:
z=\frac{4x-i}{4-x i}\cdot\frac{4+x i}{4+x i}=\frac{(4x-i)(4+x i)}{(4-x i)(4+x i)}.

Passo 4

Calcular o denominador usando a propriedade do produto de um número pelo seu conjugado:
(4-x i)(4+x i)=4^2+(x)^2=16+x^2.
Agora expandir o numerador passo a passo. Multiplicando termo a termo:
(4x-i)(4+x i)=4x\cdot 4 + 4x\cdot x i + (-i)\cdot 4 + (-i)\cdot x i.
Calcule cada produto:
4x\cdot 4 = 16x, \qquad 4x\cdot x i = 4x^2 i, \qquad (-i)\cdot 4 = -4i, \qquad (-i)\cdot x i = -x i^2 = -x(-1)=x.
Somando os termos reais e imaginários:
(4x-i)(4+x i) = (16x + x) + i(4x^2 - 4) = 17x + i(4x^2-4).

Passo 5

Portanto
z=\frac{17x + i(4x^2-4)}{16+x^2}.
Separando a parte real e imaginária (dividindo cada componente pelo denominador real 16+x^2):
z=\frac{17x}{16+x^2} + i\cdot\frac{4x^2-4}{16+x^2}.
Para que z seja real, a parte imaginária deve ser zero, isto é:
\frac{4x^2-4}{16+x^2}=0.

Passo 6

Resolver a equação da parte imaginária igual a zero. Um quociente real é zero quando o numerador é zero (e o denominador é diferente de zero). O numerador dá:
4x^2-4=0 \quad\Longrightarrow\quad 4(x^2-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x^2-1=0.
Logo
x^2=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm 1.
Verificar o denominador 16+x^2 para esses valores: para x=\pm 1 tem-se 16+1=17\neq 0, então a divisão é válida.

Passo 7

Checagem rápida (plugando na expressão original) para ver que realmente geram z real:
  • Para x=1:
z=\frac{4\cdot 1 - i}{4-1\cdot i}=\frac{4-i}{4-i}=1 \quad\text{(real)}.
  • Para x=-1:
z=\frac{4(-1)-i}{4-(-1)i}=\frac{-4-i}{4+i}.
Usando a forma já obtida, para x=-1 a parte imaginária é zero e a parte real é \dfrac{17(-1)}{17}=-1, ou diretamente:
z=\frac{-17}{5} \quad\text{(apenas para confirmar a realitude; o valor exato é }-{\tfrac{17}{5}}\text{).}é

Resposta

\,x=1
\,x=-1

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