(UFF) Sendo i a unidade imaginária, para que z=\frac{4 x-i}{4-x i} ; x \in R, seja um número real, é necessário que x seja igual a ?
Passo 1
O enunciado dá a expressão \,z=\dfrac{4x-i}{4-x i}\, com x\in\mathbb{R} e pede: para quais valores de x esse número complexo z é um número real?
Informações relevantes que o enunciado dá:
A variável x é real.
A expressão de z é \dfrac{4x-i}{4-x i}.
É necessário encontrar todos os x\in\mathbb{R} tais que z seja real (ou seja, a parte imaginária de z seja zero).
Passo 2
Ideia principal (explicação didática e intuitiva): um número complexo z é real quando a sua parte imaginária é zero. Para escrever z na forma padrão \,a+ib\, (com a,b reais) é útil multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador — isso “racionaliza” o denominador e permite separar a parte real e imaginária.
Lembrete sobre conjugado: se w = u+iv com u,v\in\mathbb{R}, o conjugado é \overline{w}=u-iv. Multiplicar por \overline{w} anula a parte imaginária no denominador, porque w\overline{w}=u^2+v^2 (um número real positivo se w\neq0).
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso: o denominador é 4-x i. O conjugado do denominador é 4+x i. Multiplica-se numerador e denominador por esse conjugado:
Para que z seja real, a parte imaginária deve ser zero, isto é:
\frac{4x^2-4}{16+x^2}=0.
Passo 6
Resolver a equação da parte imaginária igual a zero. Um quociente real é zero quando o numerador é zero (e o denominador é diferente de zero). O numerador dá: