1. Seja b>0 um número real fixado. Mostre que a derivada de f(x)=log b(x) é dada por f^prime(x)=1x ln (b) Dica: Utilize a fórmula para a mudança de base para passar ao logaritmo na base e.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para b>0 fixo, a derivada de
f(x)=logb(x)
é
f'(x)=1x,ln(b)
O conteúdo usado será a mudança de base de logaritmos e a regra de derivação de ln(x).

Passo 2

Usamos a fórmula de mudança de base para transformar o logaritmo na base b em logaritmo natural:
f(x)=logb(x) =ln(x)ln(b)
Aqui ln(b) é uma constante em relação a x.

Passo 3

Agora aplicamos a derivada ao quociente, lembrando que ln(b) é constante. Logo,
f'(x) =1ln(b);ddxl[ln(x)r]
E sabemos que
ddxl[ln(x)r]=1x

Passo 4

Substituindo no passo anterior, obtemos
f'(x) =1ln(b)cdot1x =1x,ln(b)

Resposta

f'(x)=1x,ln(b)

Exercícios relacionados