Seja a um número real positivo. Calcule a área limitada pela curva de equação
, a reta horizontal
(eixo dos
) e a reta vertical
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo extraído do enunciado):
-
é um número real positivo, isto é, . - A curva é
. - As retas que limitam a região são
(o eixo dos ) e .
O que a questão pede: calcular a área da região limitada por essas três curvas.
Passo 2
Vamos entender qual é a região geométrica:
- A curva
é a parábola que fica em cima do eixo para (porque ). - A reta
é o próprio eixo . - A reta vertical
corta a parábola no ponto . - A parábola intersecta o eixo
em , pois .
Portanto a região é o “pedaço” debaixo da parábola e acima do eixo, entre e . Em outras palavras, é a região compreendida por e .
Passo 3
Como calcular a área de uma região verticalmente limitada por duas curvas? A ideia básica é aproximar a área por retângulos muito finos e somá-los — isto é a ideia de integral definida (soma de Riemann). Para funções com o topo em
e a base em
entre
e
, a área é dada por
Aqui:
-
é a função que fica por cima (altura do retângulo), -
é a função que fica por baixo, -
representa a largura infinitesimal do retângulo, - a integral soma todas essas alturas
larguras para obter a área total.
Isso é consequência do Teorema Fundamental do Cálculo, que liga somas de Riemann a antiderivadas.
Passo 4
Identificando no nosso problema:
- função de cima:
, - função de baixo:
, - limites em
: de até .
Então a área pedida é
Passo 5
Agora precisamos calcular a integral
. Usamos a regra do “exponencial” (regra da potência) para antiderivadas: para
,
Aplicando com
, uma primitiva (antiderivada) de
é
, porque
Passo 6
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:
Passo 7
Interpretação final e verificação numérica rápida (para dar segurança): se, por exemplo,
então a área seria
, que é um número razoável para a região descrita.