Seja a um número real positivo. Calcule a área limitada pela curva de equação y=x^{2}, a reta horizontal y=0 (eixo dos x ) e a reta vertical x=a.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo extraído do enunciado):
  • a é um número real positivo, isto é, a>0.
  • A curva é y=x^{2}.
  • As retas que limitam a região são y=0 (o eixo dos x) e x=a.
    O que a questão pede: calcular a área da região limitada por essas três curvas.

Passo 2

Vamos entender qual é a região geométrica:
  • A curva y=x^{2} é a parábola que fica em cima do eixo x para x\neq0 (porque x^{2}\ge0).
  • A reta y=0 é o próprio eixo x.
  • A reta vertical x=a corta a parábola no ponto \bigl(a,a^{2}\bigr).
  • A parábola intersecta o eixo x em x=0, pois \,x^{2}=0\Rightarrow x=0.
    Portanto a região é o “pedaço” debaixo da parábola e acima do eixo x, entre x=0 e x=a. Em outras palavras, é a região compreendida por 0\le x\le a e 0\le y\le x^{2}.

Passo 3

Como calcular a área de uma região verticalmente limitada por duas curvas? A ideia básica é aproximar a área por retângulos muito finos e somá-los — isto é a ideia de integral definida (soma de Riemann). Para funções com o topo em y=f(x) e a base em y=g(x) entre x=x_{1} e x=x_{2}, a área é dada por
\text{Área}=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui:
  • f(x) é a função que fica por cima (altura do retângulo),
  • g(x) é a função que fica por baixo,
  • dx representa a largura infinitesimal do retângulo,
  • a integral soma todas essas alturas \times larguras para obter a área total.
    Isso é consequência do Teorema Fundamental do Cálculo, que liga somas de Riemann a antiderivadas.

Passo 4

Identificando no nosso problema:
  • função de cima: f(x)=x^{2},
  • função de baixo: g(x)=0,
  • limites em x: de x_{1}=0 até x_{2}=a.
    Então a área pedida é
\text{Área}=\int_{0}^{a} x^{2}\,dx.Á

Passo 5

Agora precisamos calcular a integral \displaystyle\int_{0}^{a} x^{2}\,dx. Usamos a regra do “exponencial” (regra da potência) para antiderivadas: para n\neq -1,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^{n}.
Aplicando com n=2, uma primitiva (antiderivada) de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}, porque
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=\frac{3x^{2}}{3}=x^{2}.

Passo 6

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:
\int_{0}^{a} x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{a}=\frac{a^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}=\frac{a^{3}}{3}.

Passo 7

Interpretação final e verificação numérica rápida (para dar segurança): se, por exemplo, a=2 então a área seria \dfrac{2^{3}}{3}=\dfrac{8}{3}, que é um número razoável para a região descrita.

Resposta

\dfrac{a^{3}}{3}

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