Sejam a e b números reais positivos. Sejam A a área limitada pela curva de equação y=\frac{1}{x}, a reta y=0 e as retas x=1 e x=a e B a área limitada pela curva de equação y=\frac{1}{x}, a reta y=0 e as retas x=b e x=a b. Mostre que A=B.

Passo 1

O enunciado dá:
  • a e b são números reais positivos.
  • A é a área limitada pela curva y=\dfrac{1}{x}, a reta y=0 e as retas verticais x=1 e x=a.
  • B é a área limitada pela curva y=\dfrac{1}{x}, a reta y=0 e as retas verticais x=b e x=ab.
O que o enunciado pede:
  • Mostrar que A=B.

Passo 2

Interpretando áreas como integrais definidas: a área sob a curva y=\dfrac{1}{x} entre duas abscissas x=\alpha e x=\beta (com 0<\alpha<\beta) é dada pela integral definida
\int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{x}\,dx.
Aqui é importante entender dois fatos básicos (explicados com calma):
  1. A integral definida \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{x}\,dx representa a área sob a curva y=\dfrac{1}{x} entre x=\alpha e x=\beta, medindo a região acima de y=0.
  2. Para x>0 existe uma função primitiva (antiderivada) de \dfrac{1}{x}. Uma definição conveniente da função logaritmo natural é justamente
\ln x = \int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,dt\qquad\text{para }x>0,
ou seja, \ln x é a integral acumulada de 1/t desde 1 até x. Dessa definição segue imediatamente que a derivada de \ln x é 1/x, e também que, por teorema fundamental do cálculo,
\int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{x}\,dx = \ln\beta - \ln\alpha.
Não é preciso entrar em provas longas agora: retenha que a integral de 1/x entre dois pontos positivos é a diferença dos logaritmos naturais desses pontos.

Passo 3

Aplicando isso a A: a área A é
A=\int_{1}^{a}\frac{1}{x}\,dx.
Pela propriedade anterior,
A=\ln a - \ln 1.
Mas \ln 1 = 0, logo
A=\ln a.
Aqui fizemos passos claros: escrevemos a integral que representa A, usamos a primitiva \ln x e avaliamos nos extremos.

Passo 4

Agora calculemos B. Pela definição de área,
B=\int_{b}^{ab}\frac{1}{x}\,dx.
Uma maneira direta e didática de calcular essa integral é usar a substituição de variável que “fatora” o b. Defina
x = b u.
Então dx = b\,du. Quando x=b temos u=1. Quando x=ab temos u=a. Substituindo na integral,
B=\int_{x=b}^{x=ab}\frac{1}{x}\,dx = \int_{u=1}^{u=a}\frac{1}{b u}\cdot b\,du.
O b no numerador cancela com o b do denominador, ficando
B=\int_{1}^{a}\frac{1}{u}\,du.
Pela definição de \ln,
B=\ln a - \ln 1 = \ln a.

Passo 5

Comparando os resultados obtidos:
A=\ln a\qquad\text{e}\qquad B=\ln a,
portanto A=B.
Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido (só para intuição): se a=4 e b=2, então
A=\int_{1}^{4}\frac{1}{x}\,dx=\ln 4, \qquad B=\int_{2}^{8}\frac{1}{x}\,dx=\ln 8-\ln 2=\ln\!\left(\frac{8}{2}\right)=\ln 4,
mesmo valor — as áreas coincidem.

Passo 6

Resumo da técnica que você pode usar na prova:
  • Traduzir a área pedida em uma integral definida.
  • Reconhecer que a primitiva de 1/x para x>0 é \ln x (ou usar a substituição x=b u se os limites envolverem um fator).
  • Avaliar a integral pelos limites; frequentemente aparecerá a propriedade \ln(ab)-\ln b=\ln a, que é exatamente o que mostramos via substituição.
Força aí — o raciocínio é curto e elegante: a substituição mostra que a integral entre b e ab reduz à integral entre 1 e a, então as áreas coincidem.

Resposta

A=B

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