Sejam
e
números reais positivos. Sejam
a área limitada pela curva de equação
, a reta
e as retas
e
e
a área limitada pela curva de equação
, a reta
e as retas
e
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá:
-
e são números reais positivos. -
é a área limitada pela curva , a reta e as retas verticais e . -
é a área limitada pela curva , a reta e as retas verticais e .
O que o enunciado pede:
- Mostrar que
.
Passo 2
Interpretando áreas como integrais definidas: a área sob a curva
entre duas abscissas
e
(com
) é dada pela integral definida
Aqui é importante entender dois fatos básicos (explicados com calma):
- A integral definida
representa a área sob a curva entre e , medindo a região acima de . - Para
existe uma função primitiva (antiderivada) de . Uma definição conveniente da função logaritmo natural é justamente
ou seja,
é a integral acumulada de
desde
até
. Dessa definição segue imediatamente que a derivada de
é
, e também que, por teorema fundamental do cálculo,
Não é preciso entrar em provas longas agora: retenha que a integral de
entre dois pontos positivos é a diferença dos logaritmos naturais desses pontos.
Passo 3
Aplicando isso a
: a área
é
Pela propriedade anterior,
Mas
, logo
Aqui fizemos passos claros: escrevemos a integral que representa
, usamos a primitiva
e avaliamos nos extremos.
Passo 4
Agora calculemos
. Pela definição de área,
Uma maneira direta e didática de calcular essa integral é usar a substituição de variável que “fatora” o
. Defina
Então
. Quando
temos
. Quando
temos
. Substituindo na integral,
O
no numerador cancela com o
do denominador, ficando
Pela definição de
,
Passo 5
Comparando os resultados obtidos:
portanto
.
Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido (só para intuição): se
e
, então
mesmo valor — as áreas coincidem.
Passo 6
Resumo da técnica que você pode usar na prova:
- Traduzir a área pedida em uma integral definida.
- Reconhecer que a primitiva de
para é (ou usar a substituição se os limites envolverem um fator). - Avaliar a integral pelos limites; frequentemente aparecerá a propriedade
, que é exatamente o que mostramos via substituição.
Força aí — o raciocínio é curto e elegante: a substituição mostra que a integral entre
e
reduz à integral entre
e
, então as áreas coincidem.