A soma
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\ldots=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
é finita ou infinita?

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é finita ou infinita. As informações dadas são exatamente os termos \frac{1}{n} para n=1,2,3,\dots.
Vou deixar claro o que significa cada resposta:
  • “Finita” (ou convergente) significa que a sequência das somas parciais S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}tem um limite finito quando N\to\infty.
  • “Infinita” (ou divergente para +\infty) significa que S_N\to+\infty quando N\to\infty (ou seja, as somas parciais crescem sem limite).

Passo 2

Vou usar um método bem simples e clássico por comparação em blocos (é um método elementar e não exige cálculo). A ideia é agrupar os termos da série em “blocos” com número de termos dobrando a cada bloco, e então encontrar um limite inferior que seja fácil de somar.
Organizamos as somas parciais em blocos assim:
  • Primeiro bloco: apenas o termo \frac{1}{1}.
  • Segundo bloco: apenas o termo \frac{1}{2}.
  • Terceiro bloco: os termos \frac{1}{3}+\frac{1}{4}.
  • Quarto bloco: os termos \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}.
  • Quinto bloco: os termos \frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{16}.
  • E assim por diante, de modo que o m-ésimo bloco (para m\ge1) tem exatamente 2^{m-1} termos.

Passo 3

Agora vou obter uma estimativa inferior para a soma de cada bloco. Observe o seguinte padrão: em um bloco que contém os números de 2^{m-1}+1 até 2^{m}, cada denominador é no máximo 2^{m}. Portanto, cada termo desse bloco satisfaz
\frac{1}{n}\ge\frac{1}{2^{m}}\quad\text{para todo }n\text{ no bloco}.
Como esse bloco tem 2^{m-1} termos, a soma do m-ésimo bloco é, no mínimo,
\text{(soma do bloco }m)\ge 2^{m-1}\cdot\frac{1}{2^{m}}=\frac{1}{2}.
Vamos checar os primeiros blocos para ver que faz sentido:
  • Bloco m=1: tem 2^{0}=1 termo, é \frac{1}{1}=1 (não usamos a desigualdade do \tfrac12 aqui).
  • Bloco m=2: tem 2^{1}=2 termos, \frac{1}{3}+\frac{1}{4}\ge 2\cdot\frac{1}{4}=\tfrac12.
  • Bloco m=3: tem 2^{2}=4 termos, \frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\ge 4\cdot\frac{1}{8}=\tfrac12.
  • Em geral, para todo m\ge2 (ou m\ge1 se começarmos a contar de outro modo) cada bloco contribui pelo menos \tfrac12.

Passo 4

Somando essas desigualdades bloco a bloco, obtemos uma estimativa para a soma parcial após muitos blocos. Escrevendo a série como soma dos blocos,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = \underbrace{\frac{1}{1}}_{=1} + \underbrace{\frac{1}{2}}_{= \text{bloco 2}} + \underbrace{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)}_{\ge \frac{1}{2}} + \underbrace{\left(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\right)}_{\ge \frac{1}{2}} + \cdots
Pelo que vimos, a partir do segundo bloco cada bloco adiciona pelo menos \tfrac12. Logo, para qualquer K número de blocos consideráveis, a soma parcial é pelo menos
1 + \sum_{m=1}^{K}\frac{1}{2} =1+\frac{K}{2}.
Fazendo K\to\infty essa quantidade cresce sem limite (vai para +\infty). Portanto as somas parciais da série ficam arbitrariamente grandes: a série diverge.

Passo 5

Interpretação final desse argumento: como há infinitos blocos e cada bloco a partir de um certo ponto contribui pelo menos \tfrac12, a soma total não pode convergir para um número finito — ela cresce sem parar. Em termos formais:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty.

Passo 6

Para reforçar a intuição, cito outra forma (um pouco mais “analítica”) que dá a mesma conclusão: comparar a soma com a integral. Para f(x)=\frac{1}{x}, função positiva e decrescente para x\ge1, vale a desigualdade (testemunho do teste da integral)
\int_{1}^{N+1}\frac{1}{x}\,dx \le \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}.
Mas
\int_{1}^{N+1}\frac{1}{x}\,dx = \ln(N+1),
que tende a +\infty quando N\to\infty. Assim \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}\to+\infty também. Mesmo resultado: diverge.

Passo 7

Comentário prático e motivador: a divergência é lenta — a soma parcial S_N cresce aproximadamente como \ln N. Isso significa que para obter uma soma parcial grande é preciso um número enorme de termos. Por exemplo, para que S_N chegue perto de 10 é preciso N da ordem de e^{10}\approx 22026. Mesmo sendo lenta, a soma não se estabiliza; ela continua subindo indefinidamente.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty

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