é finita ou infinita. As informações dadas são exatamente os termos \frac{1}{n} para n=1,2,3,\dots.
Vou deixar claro o que significa cada resposta:
“Finita” (ou convergente) significa que a sequência das somas parciaisS_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}tem um limite finito quando N\to\infty.
“Infinita” (ou divergente para +\infty) significa que S_N\to+\infty quando N\to\infty (ou seja, as somas parciais crescem sem limite).
Passo 2
Vou usar um método bem simples e clássico por comparação em blocos (é um método elementar e não exige cálculo). A ideia é agrupar os termos da série em “blocos” com número de termos dobrando a cada bloco, e então encontrar um limite inferior que seja fácil de somar.
Organizamos as somas parciais em blocos assim:
Primeiro bloco: apenas o termo \frac{1}{1}.
Segundo bloco: apenas o termo \frac{1}{2}.
Terceiro bloco: os termos \frac{1}{3}+\frac{1}{4}.
Quarto bloco: os termos \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}.
Quinto bloco: os termos \frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{16}.
E assim por diante, de modo que o m-ésimo bloco (para m\ge1) tem exatamente 2^{m-1} termos.
Passo 3
Agora vou obter uma estimativa inferior para a soma de cada bloco. Observe o seguinte padrão: em um bloco que contém os números de 2^{m-1}+1 até 2^{m}, cada denominador é no máximo 2^{m}. Portanto, cada termo desse bloco satisfaz
\frac{1}{n}\ge\frac{1}{2^{m}}\quad\text{para todo }n\text{ no bloco}.
Como esse bloco tem 2^{m-1} termos, a soma do m-ésimo bloco é, no mínimo,
\text{(soma do bloco }m)\ge 2^{m-1}\cdot\frac{1}{2^{m}}=\frac{1}{2}.
Vamos checar os primeiros blocos para ver que faz sentido:
Bloco m=1: tem 2^{0}=1 termo, é \frac{1}{1}=1 (não usamos a desigualdade do \tfrac12 aqui).
Bloco m=2: tem 2^{1}=2 termos, \frac{1}{3}+\frac{1}{4}\ge 2\cdot\frac{1}{4}=\tfrac12.
Bloco m=3: tem 2^{2}=4 termos, \frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\ge 4\cdot\frac{1}{8}=\tfrac12.
Em geral, para todo m\ge2 (ou m\ge1 se começarmos a contar de outro modo) cada bloco contribui pelo menos \tfrac12.
Passo 4
Somando essas desigualdades bloco a bloco, obtemos uma estimativa para a soma parcial após muitos blocos. Escrevendo a série como soma dos blocos,
Pelo que vimos, a partir do segundo bloco cada bloco adiciona pelo menos \tfrac12. Logo, para qualquer K número de blocos consideráveis, a soma parcial é pelo menos
1 + \sum_{m=1}^{K}\frac{1}{2} =1+\frac{K}{2}.
Fazendo K\to\infty essa quantidade cresce sem limite (vai para +\infty). Portanto as somas parciais da série ficam arbitrariamente grandes: a série diverge.
Passo 5
Interpretação final desse argumento: como há infinitos blocos e cada bloco a partir de um certo ponto contribui pelo menos \tfrac12, a soma total não pode convergir para um número finito — ela cresce sem parar. Em termos formais:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty.
Passo 6
Para reforçar a intuição, cito outra forma (um pouco mais “analítica”) que dá a mesma conclusão: comparar a soma com a integral. Para f(x)=\frac{1}{x}, função positiva e decrescente para x\ge1, vale a desigualdade (testemunho do teste da integral)
que tende a +\infty quando N\to\infty. Assim \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}\to+\infty também. Mesmo resultado: diverge.
Passo 7
Comentário prático e motivador: a divergência é lenta — a soma parcial S_N cresce aproximadamente como \ln N. Isso significa que para obter uma soma parcial grande é preciso um número enorme de termos. Por exemplo, para que S_N chegue perto de 10 é preciso N da ordem de e^{10}\approx 22026. Mesmo sendo lenta, a soma não se estabiliza; ela continua subindo indefinidamente.