Seja
um aberto em
e suponha que
é estrelado em
(Dizemos que
é estrelado em
quando, para todo
, o segmento de extremidades
e
está contido em
). Seja
de classe
em
. Prove que se
em
, então
é conservativo.
Passo 1
O enunciado trata de um campo vetorial
de classe
num aberto
que é estrelado em
. Queremos mostrar que, se
então existe uma função potencial
tal que
, ou seja,
é conservativo. Usaremos a construção do potencial integrando
ao longo do segmento que une
a
, que está todo contido em
por hipótese de estrelamento.
Passo 2
Definimos
Como
e
são contínuas em
e o caminho
fica dentro de
, essa integral está bem definida e
é de classe
.
Passo 3
Vamos calcular
por diferenciação sob o sinal de integral. Escrevendo o integrando como
onde
e
, obtemos
Logo
Passo 4
Usando a hipótese
, notamos que
pois
e
. Então
Substituindo em
dá
Analogamente, calculando
obtemos
Passo 5
Concluímos que
, ou seja,
é o gradiente de
. Portanto
é conservativo em
.
Resposta
Foi construída explicitamente uma função potencial
e mostrado que
, logo
é conservativo.