Seja \Omega um aberto em \mathbb{R}^{2} e suponha que \Omega é estrelado em \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \Omega (Dizemos que \Omega é estrelado em \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \Omega quando, para todo (x, y) \in \Omega, o segmento de extremidades \left(x_{0}, y_{0}\right) e (x, y) está contido em \Omega ). Seja \vec{F}=P \vec{i}+Q \vec{j} de classe C^{1} em \Omega. Prove que se \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} em \Omega, então \vec{F} é conservativo.

Passo 1

O enunciado trata de um campo vetorial \vec F=P\,\vec i+Q\,\vec j de classe C^1 num aberto \Omega\subset\mathbb{R}^2 que é estrelado em (x_0,y_0). Queremos mostrar que, se
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y) \quad\text{para todo }(x,y)\in\Omega,
então existe uma função potencial f\colon\Omega\to\mathbb{R} tal que \nabla f=\vec F, ou seja, \vec F é conservativo. Usaremos a construção do potencial integrando \vec F ao longo do segmento que une (x_0,y_0) a (x,y), que está todo contido em \Omega por hipótese de estrelamento.

Passo 2

Definimos
f(x,y) = \int_{0}^{1} \Bigl[P\bigl(x_0+t(x-x_0),\,y_0+t(y-y_0)\bigr)\,(x-x_0) + Q\bigl(x_0+t(x-x_0),\,y_0+t(y-y_0)\bigr)\,(y-y_0) \Bigr]\,dt.
Como P e Q são contínuas em \Omega e o caminho \bigl(x_0+t(x-x_0),y_0+t(y-y_0)\bigr) fica dentro de \Omega, essa integral está bem definida e f é de classe C^1.

Passo 3

Vamos calcular \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) por diferenciação sob o sinal de integral. Escrevendo o integrando como
G(t,x,y) = (x-x_0)\,P(\xi,\eta)+(y-y_0)\,Q(\xi,\eta),
onde \xi=x_0+t(x-x_0) e \eta=y_0+t(y-y_0), obtemos
\frac{\partial G}{\partial x} = P(\xi,\eta) + t\,(x-x_0)\,\frac{\partial P}{\partial x}(\xi,\eta) + t\,(y-y_0)\,\frac{\partial Q}{\partial x}(\xi,\eta).
Logo
\frac{\partial f}{\partial x} = \int_{0}^{1} \Bigl[ P(\xi,\eta) + t\bigl((x-x_0)P_x(\xi,\eta)+(y-y_0)Q_x(\xi,\eta)\bigr) \Bigr]dt.

Passo 4

Usando a hipótese \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, notamos que
(x-x_0)P_x(\xi,\eta)+(y-y_0)Q_x(\xi,\eta) = \frac{d}{dt}\,P\bigl(\xi,\eta\bigr),
pois \frac{d\xi}{dt}=x-x_0 e \frac{d\eta}{dt}=y-y_0. Então
\int_{0}^{1} t\,\frac{d}{dt}P(\xi,\eta)\,dt = \bigl[t\,P(\xi,\eta)\bigr]_0^1 - \int_{0}^{1}P(\xi,\eta)\,dt = P(x,y)-\int_{0}^{1}P(\xi,\eta)\,dt.
Substituindo em \partial f/\partial x
\frac{\partial f}{\partial x} = \int_{0}^{1}P(\xi,\eta)\,dt + \bigl[P(x,y)-\int_{0}^{1}P(\xi,\eta)\,dt\bigr] = P(x,y).
Analogamente, calculando \partial f/\partial y obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=Q(x,y).

Passo 5

Concluímos que \nabla f=(P,Q)=\vec F, ou seja, \vec F é o gradiente de f. Portanto \vec F é conservativo em \Omega.

Resposta

Foi construída explicitamente uma função potencial f e mostrado que \nabla f=\vec F, logo \vec F é conservativo.

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