Calcule a derivada da função dada:
h(x)=\int_{0}^{x} \operatorname{sen}\left(x^{2} t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado nos dá
h(x)=\int_{0}^{x}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}t^{2}\bigr)\,dt
e pede h'(x). Este é um caso de integral cujo integrando depende de x e cujo limite superior também depende de x. Para resolver vamos usar o Teorema de Leibniz (variação do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais com parâmetro).

Passo 2

Pelo Teorema de Leibniz,
h'(x) =\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\cdot x^{2}\bigr) +\int_{0}^{x}\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}t^{2}\bigr)\,dt.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial dentro da integral:
\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}t^{2}\bigr) =\cos\bigl(x^{2}t^{2}\bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}t^{2}) =\cos\bigl(x^{2}t^{2}\bigr)\cdot2x\,t^{2}.
Substituindo em h'(x),
h'(x) =\operatorname{sen}\bigl(x^{4}\bigr) +2x\int_{0}^{x}t^{2}\cos\bigl(x^{2}t^{2}\bigr)\,dt.

Passo 4

Esta expressão já é o valor de h'(x) em termos de uma integral dependente de x, que não se simplifica em termos elementares.

Resposta

h'(x) =\operatorname{sen}\bigl(x^{4}\bigr) +2x\int_{0}^{x}t^{2}\cos\bigl(x^{2}t^{2}\bigr)\,dt.

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