Seja
uma função holomorfa no aberto conexo
. Prove que
é constante se uma das condições abaixo for verdadeira:
.
Passo 1
Temos
holomorfa em
aberto e conexo, e sabemos que para todo
vale
. O conteúdo principal aqui é o Princípio do Módulo Máximo, que diz que, se
não é constante, então
não pode atingir um máximo estrito em nenhum ponto interior de
.
Passo 2
Como
para todo
, o módulo
é constante em
. Em particular, em qualquer ponto
temos um máximo local de
(pois num entorno de
,
continua igual a 1).
Passo 3
O Princípio do Módulo Máximo afirma que, se
é holomorfa e não constante, então
não pode ter máximo em ponto interior de
. Aqui, entretanto, cada ponto de
é um ponto de máximo de
. A única forma de conciliar isso é concluir que
é constante.