Seja f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} uma função holomorfa no aberto conexo \Omega \subset \mathbb{C}. Prove que f é constante se uma das condições abaixo for verdadeira:
f(\Omega) \subset\{z \in \mathbb{C} ;|z|=1\}.

Passo 1

Temos f\colon \Omega\to\mathbb{C} holomorfa em \Omega aberto e conexo, e sabemos que para todo z\in\Omega vale \lvert f(z)\rvert=1. O conteúdo principal aqui é o Princípio do Módulo Máximo, que diz que, se f não é constante, então \lvert f\rvert não pode atingir um máximo estrito em nenhum ponto interior de \Omega.

Passo 2

Como \lvert f(z)\rvert=1 para todo z, o módulo \lvert f\rvert é constante em \Omega. Em particular, em qualquer ponto z_0\in\Omega temos um máximo local de \lvert f\rvert (pois num entorno de z_0, \lvert f\rvert continua igual a 1).

Passo 3

O Princípio do Módulo Máximo afirma que, se f é holomorfa e não constante, então \lvert f\rvert não pode ter máximo em ponto interior de \Omega. Aqui, entretanto, cada ponto de \Omega é um ponto de máximo de \lvert f\rvert. A única forma de conciliar isso é concluir que f é constante.

Resposta

f é constante.

Exercícios relacionados