Seja f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} uma função holomorfa no aberto conexo \Omega \subset \mathbb{C}. Prove que f é constante se uma das condições abaixo for verdadeira:
f(\Omega) \subset\left\{x+i y \in \mathbb{C} ; \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\right\}, estando fixados números reais positivos a e b.

Passo 1

O enunciado diz que f:\Omega\to\mathbb{C} é holomorfa em um aberto conexo \Omega e que
f(\Omega)\subset E,
onde
E=\{\,x+iy\in\mathbb{C}:\tfrac{x^{2}}{a^{2}}+\tfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\}
é a elipse de parâmetros positivos a,b. Queremos mostrar que f só pode ser constante.

Passo 2

Lembramos o Teorema do Mapeamento Aberto para funções holomorfas: se f não é constante em \Omega, então para todo ponto z_{0}\in\Omega existe vizinhança aberta U\subset\Omega de z_{0} tal que f(U) é um conjunto aberto em \mathbb{C}.

Passo 3

Observamos que a elipse
E=\{w\in\mathbb{C}:(\Re w)^{2}/a^{2}+(\Im w)^{2}/b^{2}=1\}
é uma curva de dimensão real 1 em \mathbb{C}\cong\mathbb{R}^{2}. Logo seu interior no sentido de \mathbb{C} é vazio:
\operatorname{int}(E)=\emptyset.
Não há, portanto, nenhum subconjunto não‐vazio de E que seja aberto em \mathbb{C}.

Passo 4

Se f fosse não‐constante, o Teorema do Mapeamento Aberto garantiria que f(\Omega) contém um aberto de \mathbb{C}, mas isso contradiz o fato de f(\Omega)\subset E e \operatorname{int}(E)=\emptyset. Logo f não pode ser não‐constante, e portanto é constante.

Resposta

f é constante.

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