Seja
uma função holomorfa no aberto conexo
. Prove que
é constante se uma das condições abaixo for verdadeira:
, estando fixados números reais positivos
e
.
Passo 1
O enunciado diz que
é holomorfa em um aberto conexo
e que
onde
é a elipse de parâmetros positivos
. Queremos mostrar que
só pode ser constante.
Passo 2
Lembramos o Teorema do Mapeamento Aberto para funções holomorfas: se
não é constante em
, então para todo ponto
existe vizinhança aberta
de
tal que
é um conjunto aberto em
.
Passo 3
Observamos que a elipse
é uma curva de dimensão real 1 em
. Logo seu interior no sentido de
é vazio:
Não há, portanto, nenhum subconjunto não‐vazio de
que seja aberto em
.
Passo 4
Se
fosse não‐constante, o Teorema do Mapeamento Aberto garantiria que
contém um aberto de
, mas isso contradiz o fato de
e
. Logo
não pode ser não‐constante, e portanto é constante.