- Seja
um aberto conexo que contém a origem
e
uma função holomorfa tal que
, para quaisquer
, com
. Demonstre que
e
, para todo
. Conclua que existe
tal que
para todo
.
Passo 1
O enunciado diz que
é aberto e conexo, contém
e que
é holomorfa com
sempre que
e
pertençam a
. Precisamos mostrar que primeiro
, depois que a derivada
é constante igual a
em todo
, e por fim concluir que existe
tal que
Passo 2
Para
temos
, logo
Subtraindo
dos dois lados, conclui-se
Passo 3
Como
é holomorfa, a derivada em
é
Para
pequeno tal que
, a propriedade aditiva dá
Então
e tomando limite
obtemos
Isso mostra que
é independente de
.
Passo 4
Sendo
constante, digamos
com
, a primitiva de uma função de derivada constante é
para alguma constante
. Como já vimos que
, segue
. Logo
em todo
.