1. Seja \Omega \subset \mathbb{C} um aberto conexo que contém a origem 0=0+i 0 e f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} uma função holomorfa tal que f\left(z_{1}+z_{2}\right)=f\left(z_{1}\right)+f\left(z_{2}\right), para quaisquer z_{1}, z_{2} \in \Omega, com z_{1}+z_{2} \in \Omega. Demonstre que f(0)=0 e f^{\prime}(z)=f^{\prime}(0), para todo z \in \Omega. Conclua que existe a \in \mathbb{C} tal que
f(z)=a z,
para todo z \in \Omega.

Passo 1

O enunciado diz que \Omega\subset\mathbb{C} é aberto e conexo, contém 0 e que f:\Omega\to\mathbb{C} é holomorfa com
f(z_{1}+z_{2}) \;=\; f(z_{1}) + f(z_{2})
sempre que z_{1},z_{2} e z_{1}+z_{2} pertençam a \Omega. Precisamos mostrar que primeiro f(0)=0, depois que a derivada f'(z) é constante igual a f'(0) em todo \Omega, e por fim concluir que existe a\in\mathbb{C} tal que
f(z)=a\,z.

Passo 2

Para z_{1}=z_{2}=0 temos 0+0=0\in\Omega, logo
f(0)=f(0)+f(0).
Subtraindo f(0) dos dois lados, conclui-se
f(0)=0.

Passo 3

Como f é holomorfa, a derivada em z\in\Omega é
f'(z) =\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}.
Para h pequeno tal que z+h\in\Omega, a propriedade aditiva dá
f(z+h)-f(z)=f\bigl((z+h)-z\bigr)=f(h).
Então
\frac{f(z+h)-f(z)}{h} =\frac{f(h)}{h},
e tomando limite h\to0 obtemos
f'(z) =\lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h} =f'(0).
Isso mostra que f'(z) é independente de z.

Passo 4

Sendo f' constante, digamos f'(z)=a com a=f'(0), a primitiva de uma função de derivada constante é
f(z)=a\,z + C
para alguma constante C. Como já vimos que f(0)=0, segue C=0. Logo
f(z)=a\,z
em todo \Omega.

Resposta

f(z)=a\,z, onde a=f'(0).

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