Seja \Omega \subset \mathbb{C} um aberto conexo e f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} uma função holomorfa. Mostre que:
f^{\prime} é constante se, e somente se, existem números \alpha, \beta \in \mathbb{C} tais que
f(z)=\alpha z+\beta
para todo z \in \Omega.

Passo 1

O enunciado diz que temos um aberto conexo \Omega\subset\mathbb{C} e uma função holomorfa f:\Omega\to\mathbb{C}. Precisamos mostrar a equivalência entre
  1. f' ser constante em \Omega e
  2. existir \alpha,\beta\in\mathbb{C} tais que
f(z)=\alpha z+\beta
para todo z\in\Omega.
O conteúdo usado será a propriedade de que, em um domín­io conexo, se uma função holomorfa tem derivada identicamente zero, então ela é constante.

Passo 2

Suponha que existam \alpha,\beta\in\mathbb{C} com
f(z)=\alpha z+\beta.
Como a derivada de z\mapsto \alpha z é \alpha e a derivada de uma constante \beta é zero, segue que
f'(z)=\alpha
para todo z. Logo, f' é constante.

Passo 3

Agora suponha que f' seja constante em \Omega. Seja
\alpha = f'(z)\quad(\text{valor fixo, não depende de }z).ã
Defina a função
g(z)=f(z)-\alpha z.
Então
g'(z)=f'(z)-\alpha=0
em todo \Omega. Como \Omega é conexo e g é holomorfa com derivada zero, deduzimos que g é constante. Ou seja, existe \beta\in\mathbb{C} tal que
g(z)=\beta
para todo z\in\Omega.

Passo 4

De g(z)=f(z)-\alpha z=\beta segue
f(z)=\alpha z+\beta
para todo z\in\Omega, que é exatamente a forma afim desejada.

Resposta

Ficou demonstrado que f' é constante se, e somente se,
f(z)=\alpha z+\beta
com \alpha,\beta\in\mathbb{C}.

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