Seja \Omega \subset \mathbb{C} um aberto conexo e f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} uma função holomorfa. Mostre que:
f^{\prime}(z)=z^{2024} para todo z \in \Omega se, e somente se, existe uma constante \lambda \in \mathbb{C} tal que
f(z)=\frac{1}{2025} z^{2025}+\lambda
para todo z \in \Omega.

Passo 1

O enunciado diz que \Omega\subset\mathbb{C} é aberto e conexo e que f:\Omega\to\mathbb{C} é holomorfa. Precisamos mostrar a equivalência entre
  1. \,f'(z)=z^{2024} para todo z\in\Omega
    e
  2. existir \lambda\in\mathbb{C} tal que
f(z)=\frac{1}{2025}\,z^{2025}+\lambda
para todo z\in\Omega.
Vamos usar o fato de que, numa região conexa, uma função holomorfa com derivada zero é constante, e que podemos comparar com a primitiva explícita de z^{2024}.

Passo 2

(⇒) Suponha que f'(z)=z^{2024} em \Omega. Defina a função
F(z)=\frac{z^{2025}}{2025}.
Como a regra do poder vale para funções holomorfas, temos
F'(z)=\frac{d}{dz}\Bigl(\frac{z^{2025}}{2025}\Bigr) =\frac{2025\,z^{2024}}{2025} =z^{2024}.
Então se consideramos
h(z)=f(z)-F(z)
seguimos que
h'(z)=f'(z)-F'(z)=z^{2024}-z^{2024}=0
para todo z\in\Omega. Como \Omega é conexo e h é holomorfa com derivada identicamente zero, h é constante. Logo existe \lambda\in\mathbb{C} tal que
h(z)=\lambda \quad\Longrightarrow\quad f(z)=F(z)+\lambda =\frac{1}{2025}\,z^{2025}+\lambda.

Passo 3

(⇐) Agora suponha que
f(z)=\frac{1}{2025}\,z^{2025}+\lambda
para alguma constante \lambda. Então, diferenciando termo a termo,
f'(z) =\frac{d}{dz}\Bigl(\frac{1}{2025}\,z^{2025}\Bigr) +\frac{d\lambda}{dz} =z^{2024}+0 =z^{2024},
como era para mostrar.

Resposta

Está demonstrado que
f'(z)=z^{2024}\text{ para todo }z\in\Omega \quad\Longleftrightarrow\quad f(z)=\frac{1}{2025}\,z^{2025}+\lambda
com \lambda\in\mathbb{C}.

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