Seja
um aberto conexo e
uma função holomorfa. Mostre que:
para todo
se, e somente se, existe uma constante
tal que
para todo
.
Passo 1
O enunciado diz que
é aberto e conexo e que
é holomorfa. Precisamos mostrar a equivalência entre
-
para todo
e - existir
tal que
para todo
.
Vamos usar o fato de que, numa região conexa, uma função holomorfa com derivada zero é constante, e que podemos comparar com a primitiva explícita de .
Vamos usar o fato de que, numa região conexa, uma função holomorfa com derivada zero é constante, e que podemos comparar com a primitiva explícita de
Passo 2
(⇒) Suponha que
em
. Defina a função
Como a regra do poder vale para funções holomorfas, temos
Então se consideramos
seguimos que
para todo
. Como
é conexo e
é holomorfa com derivada identicamente zero,
é constante. Logo existe
tal que
Passo 3
(⇐) Agora suponha que
para alguma constante
. Então, diferenciando termo a termo,
como era para mostrar.
Resposta
Está demonstrado que
com
.