Seja
um aberto conexo e
uma função holomorfa. Mostre que:
é constante se, e somente se, existem números
tais que
para todo
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um aberto conexo
e uma função holomorfa
. Precisamos mostrar a equivalência entre
-
ser constante em e - existir
tais que
para todo
.
O conteúdo usado será a propriedade de que, em um domínio conexo, se uma função holomorfa tem derivada identicamente zero, então ela é constante.
O conteúdo usado será a propriedade de que, em um domínio conexo, se uma função holomorfa tem derivada identicamente zero, então ela é constante.
Passo 2
Suponha que existam
com
Como a derivada de
é
e a derivada de uma constante
é zero, segue que
para todo
. Logo,
é constante.
Passo 3
Agora suponha que
seja constante em
. Seja
Defina a função
Então
em todo
. Como
é conexo e
é holomorfa com derivada zero, deduzimos que
é constante. Ou seja, existe
tal que
para todo
.
Passo 4
De
segue
para todo
, que é exatamente a forma afim desejada.
Resposta
Ficou demonstrado que
é constante se, e somente se,
com
.