Seja \Omega \subset \mathbb{C} um aberto e f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} uma função. Suponha que exista uma função contínua g: \Omega \rightarrow \mathbb{C} tal que
\lim _{z \rightarrow z_{0}} \frac{f(z)-f\left(z_{0}\right)-g\left(z_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)}{\left|z-z_{0}\right|}=0, \quad \forall z_{0} \in \Omega
Mostre que f é holomorfa em \Omega e que f^{\prime}(z)=g(z) para todo z \in \Omega. Explique por que essa condição é mais forte do que a existência da derivada complexa definida apenas como limite do quociente \frac{f(z)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (lista clara, sem resolver nada ainda).
  • Foi dado um aberto \Omega \subset \mathbb{C} e uma função f:\Omega\to\mathbb{C}.
  • Existe uma função contínua g:\Omega\to\mathbb{C} tal que, para todo z_{0}\in\Omega,
\lim_{z\to z_{0}}\frac{f(z)-f(z_{0})-g(z_{0})(z-z_{0})}{|z-z_{0}|}=0.
  • Perguntas pedidas:
    1. Mostrar que f é holomorfa em \Omega.
    2. Mostrar que f'(z)=g(z) para todo z\in\Omega.
    3. Explicar por que essa condição é mais forte do que simplesmente existir a derivada complexa definida como \lim_{z\to z_{0}}\dfrac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}.

Passo 2

Interpretação do limite dado e reescrita conveniente.
  • Defina a função de resto
r_{z_{0}}(z):=f(z)-f(z_{0})-g(z_{0})(z-z_{0}).
  • A hipótese diz exatamente que
\lim_{z\to z_{0}}\frac{r_{z_{0}}(z)}{|z-z_{0}|}=0,
ou seja |r_{z_{0}}(z)|=o(|z-z_{0}|) quando z\to z_{0}. Em palavras: o termo de erro r_{z_{0}}(z) é muito menor (ordem menor) que |z-z_{0}| quando z aproxima de z_{0}.
Vou usar essa forma r_{z_{0}}(z)=o(|z-z_{0}|) porque é muito útil para comparar com o quociente diferencial.

Passo 3

Provar que a derivada complexa existe em cada ponto z_{0} e que vale g(z_{0}).
  • Pegue um ponto fixo z_{0}\in\Omega. Queremos calcular
\lim_{z\to z_{0}}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}.
  • Escrevendo f(z)-f(z_{0})=g(z_{0})(z-z_{0})+r_{z_{0}}(z), temos
\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}} = g(z_{0}) + \frac{r_{z_{0}}(z)}{z-z_{0}}.
  • Tome o módulo da diferença entre o quociente e g(z_{0}):
\left|\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}} - g(z_{0})\right| = \left|\frac{r_{z_{0}}(z)}{z-z_{0}}\right| = \frac{|r_{z_{0}}(z)|}{|z-z_{0}|}.
  • Pela hipótese |r_{z_{0}}(z)|/|z-z_{0}|\to 0 quando z\to z_{0}. Logo o módulo da diferença tende a 0, o que implica
\lim_{z\to z_{0}}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}} = g(z_{0}).
  • Conclusão deste passo: para cada z_{0}\in\Omega a derivada complexa de f em z_{0} existe e é igual a g(z_{0}).
Comentário didático rápido: a chave foi notar que dividir o resto r_{z_{0}}(z) por z-z_{0} tem módulo igual a |r_{z_{0}}(z)|/|z-z_{0}|, e a hipótese dá exatamente que esse quociente absoluto tende a zero. Não há problema com a divisão complexa porque trabalhamos com o módulo para controlar o limite.

Passo 4

Concluir que f é holomorfa e identificar a derivada como g.
  • Definição padrão: uma função é holomorfa em \Omega se for complexamente diferenciável em cada ponto de \Omega. Pelo passo anterior, f é diferenciável em cada z_{0}\in\Omega e
f'(z_{0})=g(z_{0}).
  • Como z_{0} foi arbitrário, obtemos f'(z)=g(z) para todo z\in\Omega.
  • Além disso, como a hipótese já garantia que g é contínua em \Omega, obtemos imediatamente que f' é contínua (pois f'=g). Em linguagem de análise real, a hipótese forneceu a expansão de primeira ordem com resto o(|h|) e com linearização dada por uma função contínua: isso é a condição de diferenciabilidade de classe C^{1} (pelo menos no sentido de derivada contínua).

Passo 5

Interpretação conceptual: por que a condição do enunciado é “mais forte” que a mera existência da derivada como limite do quociente.
  • O que faz a hipótese ser mais forte: exige duas coisas ao mesmo tempo
    1. para cada z_{0} a aproximação de primeira ordem f(z)=f(z_{0})+g(z_{0})(z-z_{0})+o(|z-z_{0}|)(isto é, resto o(|z-z_{0}|)), e
    2. a função g que aparece nessa aproximação é contínua em todo \Omega.
  • A existência da derivada no sentido usual em um ponto z_{0} só exige
\lim_{z\to z_{0}}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}
exista naquele ponto. Isso é uma afirmação ponto a ponto sobre o limite do quociente; não fornece imediatamente nenhuma garantia sobre continuidade do mapa z_{0}\mapsto f'(z_{0}) nem sobre a existência de uma única função contínua g que realize a aproximação de primeira ordem em todos os pontos.
  • Em palavras mais técnicas: a hipótese dada afirma que f admite, em cada ponto, uma aproximação linear cujo operador linear (multiplicação por g(z_{0})) varia continuamente com z_{0}. Essa é a condição de diferenciabilidade no sentido de Fréchet (linearização com resto o(|h|)) com o termo linear dependendo continuamente do ponto — é um controle mais forte do que simplesmente ter derivada ponto a ponto.
  • Observação pedagógica: no caso de funções complexas, se já se sabe (por teoremas clássicos) que f é diferenciável em uma vizinhança aberta então essa diferenciabilidade costuma trazer muita regularidade (analiticidade, continuidade de derivadas, etc.). Mas a vantagem da hipótese do enunciado é que ela dá a continuidade de f' “na própria declaração”, sem recorrer a teoremas adicionais: o g fornecido é contínuo por hipótese e já é igual a f'.
  • Exemplo ilustrativo (comparação com o caso real): para funções reais uma derivada pode existir ponto a ponto e não ser contínua. Por exemplo, uma função construída por pedaços pode ter derivada em todo ponto mas com derivada oscilando. A hipótese do enunciado impede esse tipo de comportamento oscilatório impondo continuidade do termo linear g.

Resposta

f é holomorfa em \Omega e f'(z)=g(z) para todo z\in\Omega.
A condição do enunciado é mais forte porque exige, além da existência do quociente limitante em cada ponto, que haja uma única função contínua g que fornece a aproximação linear com resto o(|z-z_{0}|) em todos os pontos — ou seja, garante a expansão de primeira ordem com termo linear que depende continuamente do ponto (um controle tipo C^{1}), enquanto a existência pontual do quociente não impõe a continuidade de z\mapsto f'(z).

Exercícios relacionados