Determine os ramos analíticos da função \log z e calcule sua derivada. Use isto para calcular a derivada de z^{\alpha} e conclua que (\sqrt{z})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{z}}.

Passo 1

O que o problema pede e quais são os dados:
  • Pedem para determinar os ramos analíticos da função \log z (isto é, escolhas de uma determinação única e analítica da função logaritmo complexo) e calcular a derivada dessa função em cada ramo.
  • Em seguida, usar esse resultado para calcular a derivada de z^{\alpha} (onde \alpha é um número complexo qualquer) definido a partir de um ramo de \log z.
  • Finalmente, concluir que (\sqrt{z})^{\prime}=\dfrac{1}{2\sqrt{z}}.
Informações implícitas que vamos usar:
  • A função exponencial complexa \exp(w)=e^{w} é inteira e satisfaz \exp'(w)=\exp(w).
  • O logaritmo complexo natural é multivalorado: \log z=\ln|z|+i\arg z, onde \arg z difere por múltiplos de 2\pi.
  • Vou trabalhar em domínios onde escolhemos uma única determinação contínua do argumento (isto é, fazemos um corte na reta radial) para obter ramos analíticos.

Passo 2

Definição dos ramos de \log z (construção explícita):
  • Para qualquer ângulo fixo \theta_{0}\in\mathbb{R} definimos o corte por:
L_{\theta_{0}}=\{re^{i\theta_{0}}: r\ge 0\}.
  • Definimos o domínio do ramo associado a \theta_{0} por
D_{\theta_{0}}=\mathbb{C}\setminus L_{\theta_{0}}.
  • Em D_{\theta_{0}} podemos definir o argumento contínuo \Arg_{\theta_{0}}(z) tomando valores no intervalo (\theta_{0},\theta_{0}+2\pi). Então um ramo do logaritmo é a função
\Log_{\theta_{0}}(z)=\ln|z|+i\,\Arg_{\theta_{0}}(z),\qquad z\in D_{\theta_{0}}.
Explicação didática: ao remover a meia-reta L_{\theta_{0}} garantimos que ao percorrer D_{\theta_{0}} o argumento não “salta” por 2\pi; assim \Arg_{\theta_{0}} é bem definida e contínua, e \Log_{\theta_{0}} torna-se uma função unívoca (não multivalorada) em D_{\theta_{0}}.

Passo 3

Por que cada \Log_{\theta_{0}} é analítico:
  • Considere a faixa (strip) no plano w=u+iv
S_{\theta_{0}}=\{w\in\mathbb{C}:\; \Im w\in(\theta_{0},\theta_{0}+2\pi)\}.
  • A exponencial \exp mapeia bijetivamente S_{\theta_{0}} sobre D_{\theta_{0}}. De fato, se w=u+iv\in S_{\theta_{0}} então \exp(w)=e^{u}e^{iv}\in D_{\theta_{0}}, e cada z\in D_{\theta_{0}} tem exatamente um logaritmo w\in S_{\theta_{0}} com \Im w=\Arg_{\theta_{0}}(z).
  • Como \exp é holomorfa e \exp'(w)=\exp(w)\neq 0 para todo w, pela teoria da função inversa (ou simplesmente: inverso local de uma aplicação holomorfa cuja derivada não se anula é holomorfo, e aqui temos inverso global na faixa), a inversa \exp^{-1}:D_{\theta_{0}}\to S_{\theta_{0}} é holomorfa. Essa inversa é exatamente \Log_{\theta_{0}}.
  • Conclusão: cada \Log_{\theta_{0}} é analítica (holomorfa) em D_{\theta_{0}}.
Comentário intuitivo: escolher um ramo é “abrir” o plano cortando uma reta a partir da origem; nesse domínio aberto o log é a função inversa da exponencial restrita, portanto é analítica.

Passo 4

Cálculo da derivada de cada ramo \Log_{\theta_{0}}:
  • Seja z\in D_{\theta_{0}} e w=\Log_{\theta_{0}}(z)\in S_{\theta_{0}}. Temos \exp(w)=z.
  • Diferenciando a relação \exp(\Log_{\theta_{0}}(z))=z e usando a regra da cadeia (válida para funções holomorfas), obtemos
\exp'(\Log_{\theta_{0}}(z))\cdot (\Log_{\theta_{0}})'(z)=1.
  • Como \exp'(w)=\exp(w) e \exp(\Log_{\theta_{0}}(z))=z, segue
\exp(\Log_{\theta_{0}}(z))\cdot (\Log_{\theta_{0}})'(z)=z\cdot(\Log_{\theta_{0}})'(z)=1.
  • Logo
(\Log_{\theta_{0}})'(z)=\frac{1}{z},\qquad z\in D_{\theta_{0}}.
Observação: isto vale em qualquer ramo \Log_{\theta_{0}}; a única ressalva é que o ponto z=0 não pertence a nenhum D_{\theta_{0}}, então a derivada não existe em 0.

Passo 5

Definição e derivada de z^{\alpha} usando um ramo do logaritmo:
  • Para \alpha\in\mathbb{C} e um ramo fixo \Log_{\theta_{0}} definimos
z^{\alpha}:=\exp\big(\alpha\,\Log_{\theta_{0}}(z)\big),\qquad z\in D_{\theta_{0}}.
  • Esta definição dá uma função bem definida e analítica em D_{\theta_{0}} porque compõe funções analíticas.
  • Para calcular a derivada, usamos a regra da cadeia. Primeiro notamos que \dfrac{d}{dz}\exp(\alpha \Log_{\theta_{0}}(z))=\exp(\alpha\Log_{\theta_{0}}(z))\cdot \dfrac{d}{dz}(\alpha\Log_{\theta_{0}}(z)).
  • Como \alpha é constante e (\Log_{\theta_{0}})'(z)=\dfrac{1}{z}, obtemos
\frac{d}{dz}z^{\alpha} =\exp(\alpha\Log_{\theta_{0}}(z))\cdot\alpha\cdot\frac{1}{z} =\alpha\,z^{\alpha}\cdot\frac{1}{z} =\alpha\,z^{\alpha-1}.
  • Portanto, em qualquer ramo escolhido,
\frac{d}{dz}z^{\alpha}=\alpha\,z^{\alpha-1},\qquad z\in D_{\theta_{0}}.

Passo 6

Aplicação ao caso \alpha=\tfrac{1}{2} (a raiz quadrada):
  • Tomando \alpha=\tfrac{1}{2} e um ramo da raiz quadrada correspondente a um ramo \Log_{\theta_{0}} (por exemplo o ramo principal com \theta_{0}=-\pi ou \theta_{0}=0, conforme a convenção), a função \sqrt{z} é z^{1/2}=\exp\big(\tfrac{1}{2}\Log_{\theta_{0}}(z)\big).
  • Pela fórmula geral,
\big(\sqrt{z}\big)'\;=\;\frac{1}{2}\,z^{\tfrac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}\,z^{-1/2}.
  • Reescrevendo em termos da própria raiz escolhida:
\big(\sqrt{z}\big)'\;=\;\frac{1}{2\sqrt{z}}.
  • Observação final: isto vale para qualquer ramo analítico da raiz quadrada (desde que se trabalhe em D_{\theta_{0}} apropriado); o ponto z=0 continua sendo um ponto singular (ramificação) e não pertence ao domínio de derivabilidade.

Resposta

O ramo geral do logaritmo é
\Log_{\theta_{0}}(z)=\ln|z|+i\,\Arg_{\theta_{0}}(z) definido em D_{\theta_{0}}=\mathbb{C}\setminus\{re^{i\theta_{0}}:r\ge0\}. Em cada ramo
(\Log_{\theta_{0}})'(z)=\frac{1}{z},\qquad z\in D_{\theta_{0}}.
Para z^{\alpha}=\exp(\alpha\Log_{\theta_{0}}(z)) segue
\frac{d}{dz}z^{\alpha}=\alpha\,z^{\alpha-1}.
Em particular, para \alpha=\tfrac{1}{2},
(\sqrt{z})'=\frac{1}{2\sqrt{z}}.

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