Determine os ramos analíticos da função
e calcule sua derivada. Use isto para calcular a derivada de
e conclua que
.
Passo 1
O que o problema pede e quais são os dados:
- Pedem para determinar os ramos analíticos da função
(isto é, escolhas de uma determinação única e analítica da função logaritmo complexo) e calcular a derivada dessa função em cada ramo. - Em seguida, usar esse resultado para calcular a derivada de
(onde é um número complexo qualquer) definido a partir de um ramo de . - Finalmente, concluir que
.
Informações implícitas que vamos usar:
- A função exponencial complexa
é inteira e satisfaz . - O logaritmo complexo natural é multivalorado:
, onde difere por múltiplos de . - Vou trabalhar em domínios onde escolhemos uma única determinação contínua do argumento (isto é, fazemos um corte na reta radial) para obter ramos analíticos.
Passo 2
Definição dos ramos de
(construção explícita):
- Para qualquer ângulo fixo
definimos o corte por:
- Definimos o domínio do ramo associado a
por
- Em
podemos definir o argumento contínuo tomando valores no intervalo . Então um ramo do logaritmo é a função
Explicação didática: ao remover a meia-reta
garantimos que ao percorrer
o argumento não “salta” por
; assim
é bem definida e contínua, e
torna-se uma função unívoca (não multivalorada) em
.
Passo 3
Por que cada
é analítico:
- Considere a faixa (strip) no plano
- A exponencial
mapeia bijetivamente sobre . De fato, se então , e cada tem exatamente um logaritmo com . - Como
é holomorfa e para todo , pela teoria da função inversa (ou simplesmente: inverso local de uma aplicação holomorfa cuja derivada não se anula é holomorfo, e aqui temos inverso global na faixa), a inversa é holomorfa. Essa inversa é exatamente . - Conclusão: cada
é analítica (holomorfa) em
.
Comentário intuitivo: escolher um ramo é “abrir” o plano cortando uma reta a partir da origem; nesse domínio aberto o log é a função inversa da exponencial restrita, portanto é analítica.
Passo 4
Cálculo da derivada de cada ramo
:
- Seja
e . Temos . - Diferenciando a relação e usando a regra da cadeia (válida para funções holomorfas), obtemos
- Como
e , segue
- Logo
Observação: isto vale em qualquer ramo
; a única ressalva é que o ponto
não pertence a nenhum
, então a derivada não existe em
.
Passo 5
Definição e derivada de
usando um ramo do logaritmo:
- Para
e um ramo fixo definimos
- Esta definição dá uma função bem definida e analítica em
porque compõe funções analíticas. - Para calcular a derivada, usamos a regra da cadeia. Primeiro notamos que .
- Como
é constante e , obtemos
- Portanto, em qualquer ramo escolhido,
Passo 6
Aplicação ao caso
(a raiz quadrada):
- Tomando
e um ramo da raiz quadrada correspondente a um ramo (por exemplo o ramo principal com ou , conforme a convenção), a função é . - Pela fórmula geral,
- Reescrevendo em termos da própria raiz escolhida:
- Observação final: isto vale para qualquer ramo analítico da raiz quadrada (desde que se trabalhe em
apropriado); o ponto continua sendo um ponto singular (ramificação) e não pertence ao domínio de derivabilidade.
Resposta
O ramo geral do logaritmo é
definido em . Em cada ramo
definido em
Para
segue
Em particular, para
,