1. Seja \Omega \subset \mathbb{R}^{2} um aberto conexo e u: \Omega \rightarrow \mathbb{R} uma função harmônica. Demonstre que se v e v^{*} são conjugadas harmônicas de u, então existe uma constante real c tal que
v(x, y)=v^{*}(x, y)+c,
para todo (x, y) \in \Omega.

Passo 1

O enunciado diz que temos um aberto conexo \Omega\subset\mathbb{R}^2 e uma função harmônica
u\colon\Omega\to\mathbb{R}.
Duas funções v e v^* são ditas conjugadas harmônicas de u se cada par (u,v) e (u,v^*) satisfaz as equações de Cauchy–Riemann
u_x = v_y,\quad u_y = -\,v_x \quad\text{e}\quad u_x = v^*_y,\quad u_y = -\,v^*_x.
O objetivo é mostrar que sempre existe uma constante c\in\mathbb{R} tal que
v(x,y) = v^*(x,y) + c \quad\forall(x,y)\in\Omega.

Passo 2

Como (u,v) satisfaz as equações de Cauchy–Riemann, podemos formar a função complexa
f(z) = u(x,y) + i\,v(x,y),\quad z=x+iy,
e análogamente
f^*(z) = u(x,y) + i\,v^*(x,y).
Cada uma delas é holomorfa em \Omega, pois suas derivadas parciais satisfazem exatamente as relações
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
(e o mesmo para v^*), que são o critério de Cauchy–Riemann para holomorphicidade.

Passo 3

Considere agora a diferença
g(z) = f(z) - f^*(z).
Pela linearidade da derivada complexa, g também é holomorfa em \Omega. Além disso, escrevendo
g(z) = \bigl(u + i\,v\bigr) - \bigl(u + i\,v^*\bigr) = i\,\bigl(v - v^*\bigr),
vemos que a parte real de g é
\Re\bigl(g(z)\bigr) = 0 \quad\text{em toda a região } \Omega.ã

Passo 4

Uma função holomorfa cujo parte real é identicamente zero em um domínio conexo deve ser constante. Isso pode ser visto pelo teorema do valor-médio holomorfo ou pelo teorema do mapeamento aberto: se g não fosse constante, sua imagem seria um conjunto aberto em \mathbb{C}, mas como \Re(g)\equiv0, a imagem está contida no eixo imaginário, que não é aberto em \mathbb{C}. Logo, g é constante, digamos
g(z) = i\,C \quad\text{com }C\in\mathbb{R}.
Então
i\bigl(v(x,y)-v^*(x,y)\bigr) = i\,C \quad\Longrightarrow\quad v(x,y)-v^*(x,y) = C
em todo \Omega.

Resposta

Portanto existe uma constante real c=C tal que
v(x,y) = v^*(x,y) + c \quad\forall(x,y)\in\Omega.

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