- Seja
um aberto conexo e
uma função harmônica. Demonstre que se
e
são conjugadas harmônicas de
, então existe uma constante real
tal que
para todo
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um aberto conexo
e uma função harmônica
Duas funções
e
são ditas conjugadas harmônicas de
se cada par
e
satisfaz as equações de Cauchy–Riemann
O objetivo é mostrar que sempre existe uma constante
tal que
Passo 2
Como
satisfaz as equações de Cauchy–Riemann, podemos formar a função complexa
e análogamente
Cada uma delas é holomorfa em
, pois suas derivadas parciais satisfazem exatamente as relações
(e o mesmo para
), que são o critério de Cauchy–Riemann para holomorphicidade.
Passo 3
Considere agora a diferença
Pela linearidade da derivada complexa,
também é holomorfa em
. Além disso, escrevendo
vemos que a parte real de
é
Passo 4
Uma função holomorfa cujo parte real é identicamente zero em um domínio conexo deve ser constante. Isso pode ser visto pelo teorema do valor-médio holomorfo ou pelo teorema do mapeamento aberto: se
não fosse constante, sua imagem seria um conjunto aberto em
, mas como
, a imagem está contida no eixo imaginário, que não é aberto em
. Logo,
é constante, digamos
Então
em todo
.
Resposta
Portanto existe uma constante real
tal que