1. Seja u: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função harmônica de classe C^{2}. Considerando a função v: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, dada por
v(x, y)=\int_{0}^{y} \frac{\partial u}{\partial x}(x, t) d t-\int_{0}^{x} \frac{\partial u}{\partial y}(s, 0) d s
use a regra de Leibnitz { }^{3} para demonstrar que v é uma conjugada harmônica de u.

Passo 1

O enunciado dá uma função harmônica u\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} de classe C^2 (logo satisfaz \,u_{xx}+u_{yy}=0) e define
v(x,y)=\int_{0}^{y}u_{x}(x,t)\,dt \;-\;\int_{0}^{x}u_{y}(s,0)\,ds.
Para mostrar que v é conjugada harmônica de u, basta provar que v é C^2 e satisfaz as equações de Cauchy–Riemann
v_x = -\,u_y \quad\text{e}\quad v_y = u_x.
Usaremos a regra de Leibniz para derivar as integrais.

Passo 2

Calculemos primeiro \dfrac{\partial v}{\partial y}. Aplicando a regra de Leibniz ao primeiro termo e lembrando que o segundo não depende de y, obtemos
\frac{\partial v}{\partial y} =\frac{d}{dy}\Bigl[\int_{0}^{y}u_{x}(x,t)\,dt\Bigr] -0 =\;u_{x}(x,y).
Logo
v_{y}(x,y)=u_{x}(x,y).

Passo 3

Agora derivamos em relação a x. A regra de Leibniz dá
\frac{\partial}{\partial x} \Bigl[\int_{0}^{y}u_{x}(x,t)\,dt\Bigr] =\int_{0}^{y}u_{xx}(x,t)\,dt,
e
\frac{\partial}{\partial x} \Bigl[-\int_{0}^{x}u_{y}(s,0)\,ds\Bigr] =-\,u_{y}(x,0).
Portanto
v_{x}(x,y) =\int_{0}^{y}u_{xx}(x,t)\,dt \;-\;u_{y}(x,0).

Passo 4

Como u é harmônica, u_{xx}=-\,u_{yy}. Substituindo,
v_{x}(x,y) =-\int_{0}^{y}u_{yy}(x,t)\,dt \;-\;u_{y}(x,0).
Pelo teorema fundamental do cálculo,
\int_{0}^{y}u_{yy}(x,t)\,dt =u_{y}(x,y)-u_{y}(x,0).
Assim
v_{x}(x,y) =-\bigl[u_{y}(x,y)-u_{y}(x,0)\bigr]-u_{y}(x,0) =-\,u_{y}(x,y).

Passo 5

Concluímos que
v_x=-\,u_y \quad\text{e}\quad v_y=\,u_x,
que são exatamente as equações de Cauchy–Riemann. Como u é C^2, os mesmos argumentos mostram que v também é C^2. Logo (u,v) formam um par de funções harmônicas conjugadas.

Resposta

v satisfaz
v_x=-u_y \quad\text{e}\quad v_y=u_x,
e é C^2, portanto é conjugada harmônica de u.

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