- Seja
uma função harmônica de classe
. Considerando a função
, dada por
use a regra de Leibnitz
para demonstrar que
é uma conjugada harmônica de
.
Passo 1
O enunciado dá uma função harmônica
de classe
(logo satisfaz
) e define
Para mostrar que
é conjugada harmônica de
, basta provar que
é
e satisfaz as equações de Cauchy–Riemann
Usaremos a regra de Leibniz para derivar as integrais.
Passo 2
Calculemos primeiro
. Aplicando a regra de Leibniz ao primeiro termo e lembrando que o segundo não depende de
, obtemos
Logo
Passo 3
Agora derivamos em relação a
. A regra de Leibniz dá
e
Portanto
Passo 4
Como
é harmônica,
. Substituindo,
Pelo teorema fundamental do cálculo,
Assim
Passo 5
Concluímos que
que são exatamente as equações de Cauchy–Riemann. Como
é
, os mesmos argumentos mostram que
também é
. Logo
formam um par de funções harmônicas conjugadas.
Resposta
e é
, portanto é conjugada harmônica de
.