Seja
, onde:
Se em
definimos como operação o produto usual de matrizes, obtemos um grupo chamado Quatérnios, que tem importantes aplicações em Matemática.
Determine os elementos inversos de
e
.
Determine os elementos inversos de
Passo 1
O exercício pede para encontrar em Q o inverso de cada uma das matrizes I, J, K e L sob multiplicação usual. O tema envolve grupos de matrizes e, em particular, a definição de elemento inverso: dada uma matriz A, procuramos B ∈ Q tal que A·B = I.
Passo 2
Em qualquer grupo de matrizes, I é a identidade, logo I·I = I e imediatamente se vê que I^{-1} = I.
Passo 3
Para J, K e L—que são elementos especiais do grupo de quatérnios—vemos que cada uma delas satisfaz X^2 = -I. Consequentemente, X·(-X) = -X^2 = I, de onde X^{-1} = -X. Vamos conferir:
Logo J^{-1} = -J, K^{-1} = -K e L^{-1} = -L.
Resposta
I^{-1} = I, J^{-1} = -J, K^{-1} = -K, L^{-1} = -L