Seja Q=I,-I, J,-J, K,-K, L,-L, onde:
I=[ll 1 & 0 0 & 1 ], J=[cc i & 0 0 & -i ], K=[cc 0 & 1 -1 & 0 ] , e L=[cc 0 & i i & 0 ]
Se em Q=I,-I, J,-J, K,-K, L,-L definimos como operação o produto usual de matrizes, obtemos um grupo chamado Quatérnios, que tem importantes aplicações em Matemática.
Determine os elementos inversos de I, J, K e L.

Passo 1

O exercício pede para encontrar em Q o inverso de cada uma das matrizes I, J, K e L sob multiplicação usual. O tema envolve grupos de matrizes e, em particular, a definição de elemento inverso: dada uma matriz A, procuramos B ∈ Q tal que A·B = I.

Passo 2

Em qualquer grupo de matrizes, I é a identidade, logo I·I = I e imediatamente se vê que I^{-1} = I.

Passo 3

Para J, K e L—que são elementos especiais do grupo de quatérnios—vemos que cada uma delas satisfaz X^2 = -I. Consequentemente, X·(-X) = -X^2 = I, de onde X^{-1} = -X. Vamos conferir:
J^2 = i & 00 & -i^2 = i^2 & 00 & (-i)^2 = -1 & 00 & -1 = -I,
K^2 = 0 & 1-1 & 0^2 = -1 & 00 & -1 = -I,
L^2 = 0 & ii & 0^2 = -1 & 00 & -1 = -I
Logo J^{-1} = -J, K^{-1} = -K e L^{-1} = -L.

Resposta

I^{-1} = I, J^{-1} = -J, K^{-1} = -K, L^{-1} = -L

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