Seja f(x, y)=3 x^{2}+a x y+y^{2}, onde a é uma constante. Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas:
(a) Para a=2 existe um único ponto crítico;
(b) Se a^{2}=12 existem infinitos pontos críticos;
(c) Se a^{2}=12, podemos afirmar que ( 0,0 ) não é mínimo nem máximo local;
(d) Se a^{2}<12,(0,0) é ponto de mínimo local;
(e) Se a^{2}>12,(2,-a) é ponto de sela;
(f) Se a^{2}>12,(0,0) é ponto de sela.
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=3x^{2}+a x y+y^{2}, com a constante, e pede para verificar se cada uma das afirmações (a)–(f) é verdadeira ou falsa. As afirmações são:
(a) Para a=2 existe um único ponto crítico.
(b) Se a^{2}=12 existem infinitos pontos críticos.
(c) Se a^{2}=12, podemos afirmar que (0,0) não é mínimo nem máximo local.
(d) Se a^{2}<12, (0,0) é ponto de mínimo local.
(e) Se a^{2}>12, (2,-a) é ponto de sela.
(f) Se a^{2}>12, (0,0) é ponto de sela.
As informações relevantes do enunciado que vamos usar: a expressão explícita de f(x,y) e a constante a. A solução exige encontrar pontos críticos (onde o gradiente é zero) e classificar a natureza desses pontos (mínimo, máximo ou sela). Não resolvo nada neste passo; só listei o que é pedido e os dados fornecidos.
Passo 2
Encontrar os pontos críticos: calculo as derivadas parciais e imponho gradiente zero.
As derivadas parciais são
\frac{\partial f}{\partial x}=6x+ay
\frac{\partial f}{\partial y}=ax+2y.
Os pontos críticos satisfazem o sistema linear homogêneo
A=\begin{pmatrix}6 & a\\[2pt] a & 2\end{pmatrix},\qquad \det(A)=6\cdot 2 - a^{2}=12-a^{2}.
Se \det(A)\neq 0 (isto é, se a^{2}\neq 12), o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial x=0,\;y=0. Logo, existe um único ponto crítico: (0,0).
Se \det(A)=0 (isto é, se a^{2}=12), as equações são linearmente dependentes e o sistema homogêneo tem uma família infinita de soluções (uma reta de soluções passando pela origem). Para ver isso explicitamente, supondo a^{2}=12, da segunda equação tenho y=-(a/2)x; substituindo na primeira ela fica identicamente satisfeita, então qualquer ponto da forma
\bigl(x,\;y=-(a/2)x\bigr)
é solução — há infinitos pontos críticos ao longo dessa reta.
Conclusões parciais sobre (a) e (b):
Para a=2 temos a^{2}=4\neq 12, então \det(A)\neq 0 e o único ponto crítico é (0,0).
Para a^{2}=12 há infinitos pontos críticos (reta de soluções).]
Passo 3
Como vamos classificar natureza dos pontos críticos, calculo a matriz Hessiana e explico o teste de segunda derivada (de forma didática).
Para uma função de duas variáveis, no ponto crítico o comportamento local é governado pela forma quadrática aproximante Q(\Delta x,\Delta y)=\frac{1}{2}(\Delta x,\Delta y)^{T} H (\Delta x,\Delta y).
Defino o discriminante D=\det(H)=6\cdot 2 - a^{2}=12-a^{2}. Os critérios usuais (para pontos interiores) são:
Se D>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=6>0, então H é definida positiva e o ponto crítico é mínimo estrito.
Se D>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}<0, então H é definida negativa e o ponto é máximo estrito.
Se D<0, H tem autovalores de sinais opostos e o ponto é sela.
Se D=0, o teste é inconclusivo e precisa-se de análise adicional (neste caso podemos aproveitar que f é uma forma quadrática exata para estudar diretamente).
Observação: aqui \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=6>0 sempre, o que simplifica a análise quando D>0.]
Passo 4
Aplico o teste aos casos pedidos.
Caso a^{2}<12:
Então D=12-a^{2}>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=6>0. Logo H é definida positiva e o ponto crítico único (0,0) é ponto de mínimo local (na verdade mínimo estrito). Isso responde (d): verdadeira.
Caso a^{2}>12:
Então D=12-a^{2}<0. Pelo critério, H tem autovalores de sinais opostos e o ponto crítico único (0,0) é ponto de sela. Isso responde (f): verdadeira.
Também para a^{2}>12 verifico que o ponto (2,-a) não é ponto crítico: calculo o gradiente em (2,-a):
Se a^{2}>12 então 12-a^{2}\neq 0, logo \nabla f(2,-a)\neq(0,0) e (2,-a) não é ponto crítico. Portanto não pode ser um ponto de sela. Isso responde (e): falsa.
Passo 5
Análise especial do caso a^{2}=12 (onde o determinante do sistema e de H é zero).
Quando a^{2}=12 temos D=12-a^{2}=0. O teste clássico é inconclusivo; entretanto, aqui f é exatamente uma forma quadrática (não há termos lineares nem constantes), então podemos analisar f ao longo da reta de pontos críticos. Como visto no Passo 2, quando a^{2}=12 todos os pontos críticos têm a forma (x,y=-(a/2)x). Substituo y=-(a/2)x em f:
Se a^{2}=12 então 3-\tfrac{a^{2}}{4}=3-\tfrac{12}{4}=3-3=0, logo f vale 0 em toda essa reta de pontos críticos. Além disso, para qualquer ponto fora dessa reta a forma quadrática dá f(x,y)>0 (pois os menores principais são não negativos e um dos principais é positivo), ou seja f(x,y)\ge 0 para todos (x,y) e a igualdade só ocorre na reta. Em particular, (0,0) atinge o valor mínimo global 0, mas não é mínimo estrito (há uma direção em que f permanece igual a 0). Portanto (0,0) é um mínimo (local e também global) mas não máximo. A afirmação (c) diz que “(0,0) não é mínimo nem máximo local” — isso é incorreto: (0,0) é mínimo (não estrito). Assim (c) é falsa e (b) já foi verificada verdadeira no Passo 2.