Seja 
 , onde 
  é um conjunto aberto. Definimos (quando os limites existirem) a derivada parcial de 
  no ponto 
 , em relação a 
  (respec. a 
  ), por
 
A derivada parcial 
  pode ser encontrada tratando-se 
  como constante e derivando 
  como função de 
 . Análogo para 
 . Se 
  existe para todo 
  em um aberto 
 , temos a nova função 
 . Por exemplo, se 
 , então 
 , sendo ambas funções definidas em 
 . Analogamente, temos 
  no mesmo domínio. As funções 
  e 
  são chamadas derivadas parciais de 
  ordem de 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre derivadas parciais de uma função 
 , onde 
  é um conjunto aberto em 
 . A matéria que vamos estudar aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar a função em relação a uma variável, tratando a outra como constante.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. Imagine que temos uma função de duas variáveis, 
 . A derivada parcial em relação a 
 , denotada por 
 , é como se a gente derivasse 
  considerando 
  como uma constante. O mesmo vale para 
 , que é a derivada em relação a 
 , tratando 
  como constante.
Passo 3
Vamos usar o exemplo dado no enunciado para deixar isso mais claro. A função é 
 .
Para encontrar 
 , tratamos 
  como constante:
Como 
  é constante, a derivada de 
  em relação a 
  é 
 , a derivada de 
  é 
 , e a derivada de 
  é 
  (já que é constante em relação a 
 ). Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar 
 , derivando em relação a 
  e tratando 
  como constante:
Aqui, 
  deriva para 
 , 
  deriva para 
  (constante em relação a 
 ), e 
  deriva para 
 . Então:
Resposta
As derivadas parciais da função 
  são: