Seja
o operador linear dado por
. Escreva
como soma direta de dois operadores.
Passo 1
O enunciado define
– o espaço ambiente , das polinômios de grau
;
– o operador linear
– o espaço ambiente
– o operador linear
O objetivo é escrever
como soma direta de dois operadores, isto é, encontrar uma decomposição
onde
e
são subespaços invariantes por
.
Passo 2
Vamos achar um autovetor de
Da terceira equação não há restrição. Da primeira , ou
. Da segunda
dá
, logo
. Assim
. Um autovetor é
e o subespaço é estável por
com
.
Passo 3
Escolhemos um complemento
de
. Note que
é base de um subespaço
com
pois se
então
. Verificamos invariância: para
, temos
em
, então
Logo
é
-invariante e
Passo 4
Definimos
Então, em virtude de
e das invariâncias,
Resposta
Tomando
temos
onde