Seja T: P2(R) P2(R) o operador linear dado por T(a t^2+b t+c)=(2 a-b+c) t^2+ (a+c) t+2 c. Escreva T como soma direta de dois operadores.

Passo 1

O enunciado define
– o espaço ambiente P2(R), das polinômios de grau <=2;
– o operador linear
Tl(a t^2+b t+cr)=(2a-b+c),t^2+,(a+c),t+2c
O objetivo é escrever T como soma direta de dois operadores, isto é, encontrar uma decomposição
P2(R)=Uoplus W com T=T1oplus T2,
onde U e W são subespaços invariantes por T.

Passo 2

Vamos achar um autovetor de
Da terceira equação não há restrição. Da primeira , ou . Da segunda , logo . Assim . Um autovetor é
e o subespaço é estável por com .

Passo 3

Escolhemos um complemento W de U. Note que t^2,,t é base de um subespaço W com
Ucap W=0,
pois se alpha(t^2+t+1)=beta,t^2+gamma,t então alpha=0. Verificamos invariância: para
;p(t)=a t^2+b tin W, temos c=0 em T, então
T(p)=(2a-b),t^2+a,t;in W
Logo W é T-invariante e
P2(R)=Uoplus W

Passo 4

Definimos
T1:Uto U, T1l(alpha,u(t)r)=2,alpha,u(t),
T2:Wto W, T2l(a,t^2+b,tr)=(2a-b),t^2+a,t
Então, em virtude de Uoplus W=P2(R) e das invariâncias,
T=T1oplus T2

Resposta

Tomando
temos
onde

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