Seja T in L(V, V) tal que p(x)=(x-lambda1)^n1 cdots(x-lambdas)^ns, ni >= 1 e lambdai neq lambdaj se i neq j. Mostre que T pode ser escrita como a soma direta de s operadores lineares.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear Tin L(V,V) cujo polinômio aniquilador (ou minimal) se fatoriza em
p(x)=prodi=1^s(x-lambdai)^ni, ni>=1, lambdaineqlambdaj (ineq j)
Queremos mostrar a decomposição primária de V em soma direta de subespaços invariantes, de modo que T se escreva como soma direta de s operadores, cada um atuando em um desses subespaços. Vamos usar o Teorema do Resto Chinês em Bbb K[x] e o lema de Bézout para construir projeções polinomiais que efetuam essa separação.

Passo 2

Para cada i definimos
Fi(x)=(x-lambdai)^ni, Qi(x)=p(x)Fi(x)
Como gcdl(Fi,Qir)=1, existem polinômios ai(x),bi(x)inBbb K[x] tais que
ai(x),Fi(x);+;bi(x),Qi(x) ;=;1
Defina então
gi(x)=bi(x),Qi(x)
Pelo modo como foi construído, gi(x)equiv1 em l(Fir) e gi(x)equiv0 em l(Fjr) para todo jneq i.

Passo 3

Colocando gi em T, definimos
Pi=gi(T)
Como polinômio em T, vale
gi(x)equiv1pmodFi(x) Longrightarrow Pi^2=Pi,
e para jneq i
gi(x)equiv0pmodFj(x) Longrightarrow PiPj=0
Finalmente, da identidade sumi=1^sgi(x)=1 em Bbb K[x]/(p) segue
sumi=1^sPi=IV

Passo 4

Definimos os subespaços
Vi=Im,Pisubseteq V
Como sum Pi=I e PiPj=0 para ineq j, obtemos
V=oplusi=1^sVi
Além disso, cada Vi é T-invariante porque PiT=T Pi.

Passo 5

Restrinja T a cada Vi e chame esse operador de Ti=T|Vi. Então, na soma direta V=oplus Vi, o operador T escreve-se como
T=T1oplus T2opluscdotsoplus Ts,
ou seja, como soma direta de s operadores lineares.

Resposta

T decompõe-se em soma direta de s operadores lineares
T ;=; T1oplus T2oplus cdots oplus Ts,
cada Ti atuando no subespaço generalizado Vi=kerl((T-lambdaiI)^nir).

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