Seja
tal que
e
se
. Mostre que
pode ser escrita como a soma direta de
operadores lineares.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
cujo polinômio aniquilador (ou minimal) se fatoriza em
Queremos mostrar a decomposição primária de
em soma direta de subespaços invariantes, de modo que
se escreva como soma direta de
operadores, cada um atuando em um desses subespaços. Vamos usar o Teorema do Resto Chinês em
e o lema de Bézout para construir projeções polinomiais que efetuam essa separação.
Passo 2
Para cada
definimos
Como
, existem polinômios
tais que
Defina então
Pelo modo como foi construído,
em
e
em
para todo
.
Passo 3
Colocando
em
, definimos
Como polinômio em
, vale
e para
Finalmente, da identidade
em
segue
Passo 4
Definimos os subespaços
Como
e
para
, obtemos
Além disso, cada
é
-invariante porque
.
Passo 5
Restrinja
a cada
e chame esse operador de
. Então, na soma direta
, o operador
escreve-se como
ou seja, como soma direta de
operadores lineares.
Resposta
cada
atuando no subespaço generalizado
.