Determine todos os valores de a, b, c in C para os quais a matriz abaixo seja diagonalizável
A=(ccc a & b & 1 0 & c & 0 0 & 0 & 1 )

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os a,b,cinC tais que a matriz
A= a & b & 1 0 & c & 0 0 & 0 & 1
seja diagonalizável. Como A é triangular, seus autovalores são exatamente as entradas da diagonal: lambda1=a, lambda2=c e lambda3=1. Para ser diagonalizável sobre C, é preciso que, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) seja igual à sua multiplicidade algébrica.

Passo 2

Caso geral sem repetições: se a, c e 1 são todos distintos (isto é,
aneq c, aneq1, cneq1),
então cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1 e automaticamente multiplicidade geométrica 1, logo A é diagonalizável, independentemente de b.

Passo 3

Caso de dois autovalores iguais. Há três subcasos:
(i) a=cneq1.
Os autovalores são lambda=a (multiplicidade 2) e lambda=1 (multiplicidade 1). Vamos analisar o espaço próprio de lambda=a.
A - aI = 0 & b & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1-a
As linhas não nulas são
;(0,b,1) e (0,0,1-a). Se bneq0, essas duas linhas são independentes, então rank(A-aI)=2 e a nulidade é 3-2=1, ou seja, há só um vetor próprio para lambda=a, o que impede diagonalização. Se b=0, ficam linhas (0,0,1) e (0,0,1-a), que são colineares, dando rank=1 e nulidade 2, ou seja, dois vetores próprios para lambda=a, compatível com multiplicidade algébrica 2.
Conclusão: quando a=cneq1, é preciso b=0 para diagonalizar.

Passo 4

(ii) c=1neq a.
Os autovalores são lambda=1 (multiplicidade 2) e lambda=a (multiplicidade 1). Para lambda=1:
A - I = a-1 & b & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Como aneq1, a primeira linha é não nula, e não há outra linha não nula além dela, então rank(A-I)=1 e nulidade =3-1=2. Isso dá dois vetores próprios para lambda=1, igual à multiplicidade algébrica. Para lambda=a (que tem multiplicidade 1) também há trivialmente um vetor próprio. Logo, sempre diagonalizável neste caso, sem restrição sobre b.

Passo 5

(iii) a=1neq c.
Aqui lambda=1 tem multiplicidade algébrica 2, mas
A - I = 0 & b & 1 0 & c-1 & 0 0 & 0 & 0
tem sempre duas linhas independentes ( (0,b,1) e (0,c-1,0)), de modo que rank=2 e nulidade =1. Sobra apenas um vetor próprio para lambda=1, insuficiente, logo não diagonalizável.

Passo 6

Caso triplo a=c=1. Então lambda=1 tem multiplicidade 3 e
A - I = 0 & b & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
tem rank=1, nulidade =2<3, falhando obter três vetores próprios. Logo não diagonalizável.

Resposta

A matriz A é diagonalizável exatamente nas seguintes situações:
  1. a, c e 1 são todos distintos (isto é, aneq c, aneq1 e cneq1), qualquer b.
  2. c=1neq a, qualquer b.
  3. a=cneq1 e b=0.

Exercícios relacionados