Seja o operador linear T: R^2 R^2 definida por T(x, y)=(2 x+y, 4 x+2 y).
(a) Determine N(T), uma base este subespaço e sua dimensão. T é injetora?
(b) Determine Im(T), uma base este subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora?

Passo 1

O enunciado define o operador linear Tcolon R^2toR^2 por
T(x,y) = (2x+y,;4x+2y)
e pede em (a) o núcleo N(T), uma base desse subespaço, sua dimensão e se T é injetora; e em (b) a imagem Im(T), uma base desse subespaço, sua dimensão e se T é sobrejetora. Vamos usar teoria de subespaços, sistemas lineares e o teorema da dimensão (posto-nulidade).

Passo 2

Para achar o núcleo, resolvemos
A segunda equação é simplesmente o dobro da primeira, então basta . Logo
A dimensão de é .
Um operador linear é injetor se e somente se . Aqui , logo e não é injetora.

Passo 3

Para obter a imagem, note que
Im(T) = (2x+y,,4x+2y)colon x,yinR = spanl(2,4),,(1,2)r
Como (1,2)=tfrac12(2,4), esses vetores são linearly dependentes e
Im(T) = span(2,4) = span(1,2)
A dimensão de Im(T) é dim Im(T)=1.
Um operador linear é sobrejetor se Im(T)=R^2. Como dimIm(T)=1<2, a imagem não é o espaço todo e T não é sobrejetora.

Resposta

(a) N(T)=span(1,-2), base (1,-2), dim N(T)=1. T não é injetora.
(b) Im(T)=span(1,2), base (1,2), dim Im(T)=1. T não é sobrejetora.\

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