Seja o operador linear
definida por
.
(a) Determine
, uma base este subespaço e sua dimensão. T é injetora?
(b) Determine
, uma base este subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora?
(a) Determine
(b) Determine
Passo 1
O enunciado define o operador linear
por
e pede em (a) o núcleo
, uma base desse subespaço, sua dimensão e se
é injetora; e em (b) a imagem
, uma base desse subespaço, sua dimensão e se
é sobrejetora. Vamos usar teoria de subespaços, sistemas lineares e o teorema da dimensão (posto-nulidade).
Passo 2
Para achar o núcleo, resolvemos
A segunda equação é simplesmente o dobro da primeira, então basta . Logo
A dimensão de
é
.
Um operador linear é injetor se e somente se . Aqui
, logo
e
não é injetora.
Um operador linear é injetor se e somente se
Passo 3
Para obter a imagem, note que
Como
, esses vetores são linearly dependentes e
A dimensão de
é
.
Um operador linear é sobrejetor se . Como
, a imagem não é o espaço todo e
não é sobrejetora.
Um operador linear é sobrejetor se
Resposta
(a)
, base
,
.
não é injetora.
(b) , base
,
.
não é sobrejetora.\
(b)