Dadas as retas
r1: y-32=z+1-2 ; x=2, r2:ly=2 x z=x-3 e lx=3+t y=1-3 t z=t
determine o ângulo entre r1 e r2

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre duas retas em R^3. O tema aqui é “ângulo entre retas”, que se resolve encontrando os vetores diretores de cada reta e usando a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
costheta = l|v1cdotv2r||v1|;|v2|

Passo 2

Para obter o vetor diretor de r1, observamos a forma simétrica
y-32 ;=;z+1-2, x=2
Podemos introduzir um parâmetro s tal que
y-3 = 2s, z+1 = -2s, x=2
Daí
x=2, y=3+2s, z=-1-2s,
logo o vetor diretor de r1 é
v1 = (0,;2,;-2)

Passo 3

A reta
Basta tomar (x=t] como parâmetro. Então

e

Passo 4

Recordando a teoria, o ângulo theta entre as retas é o mesmo que entre v1 e v2, dado por
costheta = l|v1cdotv2r||v1|;|v2|

Passo 5

Calculamos o produto escalar:
v1cdotv2 = (0)cdot1 + (2)cdot2 + (-2)cdot1 = 0 + 4 - 2 = 2

Passo 6

Agora os comprimentos:
|v1| = raiz0^2 + 2^2 + (-2)^2 = raiz8, |v2| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz6

Passo 7

Substituindo na fórmula do cosseno,
costheta = |2|raiz8,raiz6 = 22raiz2,raiz6 = 1raiz12 = 12raiz3

Passo 8

Finalmente,
theta = arccos!l(tfrac12raiz3r) approx 73,2^circ

Resposta

theta = arccos!l(tfrac12raiz3r)approx 73,2^circ

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