Seja operatorname{det} A=\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right]=10 .Calcule,usando as propriedades dos determinantes:
\left|\begin{array}{rrr}a & b & c \\\ g+d & h+e & i+f \\\ d & e & f\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado nos dá
\det A = \begin{vmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{vmatrix} =10
e pede o valor de
\begin{vmatrix} a & b & c\\\ g+d & h+e & i+f\\\ d & e & f \end{vmatrix}.
O conteúdo principal aqui é usar a linearidade de determinantes em uma linha e a troca de linhas para relacionar com \det A.

Passo 2

Chamemos de R_1,R_2,R_3 as linhas originais de A, ou seja,
R_1=(a,b,c),\quad R_2=(d,e,f),\quad R_3=(g,h,i).
Então a matriz cujo determinante queremos é
M=\begin{pmatrix} R_1\\\ R_3+R_2\\\ R_2 \end{pmatrix}.
Pela linearidade na segunda linha,
\det(M) =\det\bigl(R_1,\;R_3+R_2,\;R_2\bigr) =\det\bigl(R_1,R_3,R_2\bigr) +\det\bigl(R_1,R_2,R_2\bigr).

Passo 3

O segundo determinante tem linhas 2 e 3 iguais ( R_2 em ambas), logo
\det\bigl(R_1,R_2,R_2\bigr)=0.
Assim fica
\det(M)=\det\bigl(R_1,R_3,R_2\bigr).

Passo 4

Para ligar \det(R_1,R_3,R_2) a \det(R_1,R_2,R_3)=\det A, note que trocar a linha 2 com a linha 3 muda o sinal do determinante. Logo,
\det\bigl(R_1,R_3,R_2\bigr) =-\det\bigl(R_1,R_2,R_3\bigr) =-\det(A) =-10.

Resposta

-10

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