6.Determine x para que a matriz A=\left[\begin{array}{cc}x & x+2 \\\\ 1 & x\end{array}\right] seja inversível.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de x que tornam a matriz
A = \begin{pmatrix} x & x+2 \\[6pt] 1 & x \end{pmatrix}
inversível, ou seja, quais x fazem \det(A) \neq 0.]

Passo 2

Para uma matriz 2\times2, a condição de inversibilidade é
\det(A)\neq0.

Passo 3

Calculando o determinante de A:
\det(A) = x\cdot x - 1\cdot(x+2) = x^2 - x - 2.

Passo 4

Impondo \det(A)\neq0, temos
x^2 - x - 2 \neq 0.
Fatorando,
x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1),
logo a desigualdade é satisfeita sempre que
x-2\neq0 \quad\text{e}\quad x+1\neq0,
ou seja,
x\neq2 \quad\text{e}\quad x\neq-1.

Resposta

Os valores de x para os quais A é inversível são todos os reais, exceto
x = 2 \quad\text{e}\quad x = -1.

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