Seja \operatorname{det} A=\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right]=10. Calcule, usando as propriedades dos determinantes: \left|\begin{array}{ccc}a & d & g \\\ b & e & h \\\ c & f & i\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação: o determinante da matriz
A=\left[\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right]
é \det A=10. Pede-se para calcular o determinante da matriz
B=\left[\begin{array}{ccc}a & d & g \\\ b & e & h \\\ c & f & i\end{array}\right].
Ou seja, a pergunta é: qual é \det B, sabendo que \det A=10 e que os elementos de B são os mesmos de A rearranjados.
Passo 2
Observação importante: a matriz B é exatamente a transposta de A. Em notação,
B=A^\top.
Vou trabalhar mostrando, de forma concreta para o caso 3\times3, que \det(A^\top)=\det(A).
Passo 3
Regra prática para 3\times3 (regra de Sarrus): se
A=\left[\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right],
então uma expressão explícita para \det A é
\det A = a e i + b f g + c d h - c e g - b d i - a f h.
Explicando essa fórmula de forma simples: pega-se a soma dos produtos das três diagonais descendentes (da esquerda superior para a direita inferior) e subtrai-se a soma dos produtos das três diagonais ascendentes (da esquerda inferior para a direita superior). Cada termo é um produto de três elementos, um de cada linha e coluna.
Passo 4
Agora escrevo \det B aplicando a mesma fórmula de Sarrus à matriz
B=\left[\begin{array}{ccc}a & d & g \\\ b & e & h \\\ c & f & i\end{array}\right].
Pelo mesmo padrão obtemos
\det B = a e i + d h c + g b f - g e c - d b i - a h f.
Passo 5
Comparando termo a termo as duas expressões:
\det A = a e i + b f g + c d h - c e g - b d i - a f h,
\det B = a e i + d h c + g b f - g e c - d b i - a h f.
Como a multiplicação de escalares é comutativa, os produtos aparecem apenas com os fatores em ordens diferentes, por exemplo b f g = g b f, c d h = d h c, c e g = g e c, b d i = d b i, a f h = a h f. Portanto cada termo de \det B coincide exatamente com o termo correspondente de \det A. Assim