Sejam
tais que
e
. Determine:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
(ou seja, são matrizes quadradas de ordem ); -
; -
.
A pergunta é: determinar
.
Passo 2
Vamos entender o que o determinante representa, de um jeito intuitivo e útil para a prova. Pense no determinante de uma matriz quadrada como o fator de escala (com sinal) do volume quando aplicamos a transformação linear representada por essa matriz ao cubo unitário em
. Mais concretamente:
- Se
é a transformação linear dada por uma matriz , então aplicar multiplica volumes por .
Passo 3
A partir dessa ideia de “fator de escala de volume” vem uma propriedade natural e central do determinante: a multiplicatividade. Se
e
representam duas transformações lineares
e
, então a composição
é representada pela matriz
. Como aplicar primeiro
e depois
escala volumes primeiro por
e depois por
, o fator total é o produto desses fatores. Portanto vale a identidade
(Observação breve: essa argumentação é intuitiva; uma prova rigorosa usa que a identidade vale para matrizes invertíveis e se estende por continuidade ao caso singular, ou pode ser obtida a partir da fatoração em matrizes elementares.)
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade ao caso dado. Como
e
, temos
Passo 5
Calculando o produto simples obtemos o valor final: