Sejam A, B \in M_{n}(\mathbb{R}) tais que \operatorname{det} A=4 e \operatorname{det} B=5. Determine:
\operatorname{det} A B

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A,B\in M_{n}(\mathbb{R}) (ou seja, são matrizes quadradas de ordem n);
  • \det A = 4;
  • \det B = 5.
A pergunta é: determinar \det(AB).

Passo 2

Vamos entender o que o determinante representa, de um jeito intuitivo e útil para a prova. Pense no determinante de uma matriz quadrada como o fator de escala (com sinal) do volume quando aplicamos a transformação linear representada por essa matriz ao cubo unitário em \mathbb{R}^{n}. Mais concretamente:
  • Se T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n} é a transformação linear dada por uma matriz M, então aplicar T multiplica volumes por \det M.

Passo 3

A partir dessa ideia de “fator de escala de volume” vem uma propriedade natural e central do determinante: a multiplicatividade. Se A e B representam duas transformações lineares T_A e T_B, então a composição T_A\circ T_B é representada pela matriz AB. Como aplicar primeiro B e depois A escala volumes primeiro por \det B e depois por \det A, o fator total é o produto desses fatores. Portanto vale a identidade
\det(AB)=\det A\cdot\det B.
(Observação breve: essa argumentação é intuitiva; uma prova rigorosa usa que a identidade vale para matrizes invertíveis e se estende por continuidade ao caso singular, ou pode ser obtida a partir da fatoração em matrizes elementares.)

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade ao caso dado. Como \det A=4 e \det B=5, temos
\det(AB)=\det A\cdot\det B = 4\cdot 5.

Passo 5

Calculando o produto simples obtemos o valor final:
\det(AB)=20.

Resposta

20

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