Dadas as matrizes A=\left[\begin{array}{rr}1 & -3 \\\\ 2 & 5\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\ 0 & 2\end{array}\right], calcule:
a) A^{2}
b) B^{3}
c) A^{2} B^{3}

Passo 1

O enunciado dá as matrizes (estas são as informações fornecidas):
A=\begin{pmatrix}1 & -3 \\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
As perguntas pedem calcular:
a) A^{2} (ou seja, A\cdot A);
b) B^{3} (ou seja, B\cdot B\cdot B);
c) A^{2}B^{3} (ou seja, o produto da matriz encontrada em (a) pela matriz encontrada em (b)).]

Passo 2

Relembrando a definição de multiplicação de matrizes (para usar passo a passo):
  • Se X e Y são matrizes 2\times2, o produto XY é outra 2\times2 cuja entrada na linha i e coluna j é
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{2} X_{ik}Y_{kj}.
Isto significa: para calcular a entrada (1,2) do produto, por exemplo, multiplica-se a linha 1 de X pelas colunas 2 de Y componente a componente e soma-se. Para potências de uma matriz definimos A^{2}=A\cdot A, B^{3}=B\cdot B\cdot B. A multiplicação de matrizes é associativa, então posso calcular B^{2}=B\cdot B e depois B^{3}=B^{2}\cdot B.

Passo 3

Calcular A^{2}=A\cdot A. Escrevendo A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} com a=1,b=-3,c=2,d=5, a fórmula para A^{2} dá:
A^{2}=\begin{pmatrix} a\cdot a + b\cdot c & a\cdot b + b\cdot d \\[4pt] c\cdot a + d\cdot c & c\cdot b + d\cdot d \end{pmatrix}.
Agora substituindo os valores:
  • Entrada (1,1): 1\cdot1 + (-3)\cdot2 = 1 - 6 = -5.
  • Entrada (1,2): 1\cdot(-3) + (-3)\cdot5 = -3 -15 = -18.
  • Entrada (2,1): 2\cdot1 + 5\cdot2 = 2 +10 = 12.
  • Entrada (2,2): 2\cdot(-3) + 5\cdot5 = -6 +25 = 19.
Portanto
A^{2}=\begin{pmatrix}-5 & -18 \\[4pt] 12 & 19\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular B^{3}. Primeiro B^{2}=B\cdot B. Usando B=\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}:
  • Entrada (1,1) de B^{2}: 1\cdot1 + 4\cdot0 = 1.
  • Entrada (1,2): 1\cdot4 + 4\cdot2 = 4 + 8 = 12.
  • Entrada (2,1): 0\cdot1 + 2\cdot0 = 0.
  • Entrada (2,2): 0\cdot4 + 2\cdot2 = 4.
Logo
B^{2}=\begin{pmatrix}1 & 12 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}.
Agora B^{3}=B^{2}\cdot B:
  • Entrada (1,1): 1\cdot1 + 12\cdot0 = 1.
  • Entrada (1,2): 1\cdot4 + 12\cdot2 = 4 + 24 = 28.
  • Entrada (2,1): 0\cdot1 + 4\cdot0 = 0.
  • Entrada (2,2): 0\cdot4 + 4\cdot2 = 8.
Portanto
B^{3}=\begin{pmatrix}1 & 28 \\[4pt] 0 & 8\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calcular A^{2}B^{3}. Temos
A^{2}=\begin{pmatrix}-5 & -18 \\[4pt] 12 & 19\end{pmatrix},\qquad B^{3}=\begin{pmatrix}1 & 28 \\[4pt] 0 & 8\end{pmatrix}.
Aplicando a regra de multiplicação entrada a entrada:
  • Entrada (1,1) de A^{2}B^{3}: (-5)\cdot1 + (-18)\cdot0 = -5.
  • Entrada (1,2): (-5)\cdot28 + (-18)\cdot8 = -140 - 144 = -284.
  • Entrada (2,1): 12\cdot1 + 19\cdot0 = 12.
  • Entrada (2,2): 12\cdot28 + 19\cdot8 = 336 + 152 = 488.
Assim
A^{2}B^{3}=\begin{pmatrix}-5 & -284 \\[4pt] 12 & 488\end{pmatrix}.]

Resposta

A^{2}=\begin{pmatrix}-5 & -18 \\[4pt] 12 & 19\end{pmatrix}
B^{3}=\begin{pmatrix}1 & 28 \\[4pt] 0 & 8\end{pmatrix}
A^{2}B^{3}=\begin{pmatrix}-5 & -284 \\[4pt] 12 & 488\end{pmatrix}]

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