Seja \operatorname{dim}(V)<\infty. Se \tau, \sigma \in L(V) satisfazem \sigma \tau=\iota, mostre que \tau e \sigma são invertíveis e que existe um polinômio p(x) \in F[x] tal que \sigma=p(\tau).

Passo 1

O enunciado dá que V é um espaço vetorial de dimensão finita e que \tau,\sigma\in L(V) satisfazem
\sigma\tau=\iota,
onde \iota é a aplicação identidade em V. O que é pedido:
  • Mostrar que \tau e \sigma são invertíveis (isto é, bijetoras e possuem inversas lineares).
  • Mostrar que existe um polinômio p(x)\in F[x] tal que \sigma=p(\tau).
Informações relevantes dadas:
  • A relação \sigma\tau=\iota vale para todos os vetores de V.
  • \dim(V)<\infty.

Passo 2

Interpretação da equação \sigma\tau=\iota em termos de núcleo e imagem.
Definições rápidas (para ficar claro):
  • Uma aplicação linear T é injetora se \ker T=\{0\}.
  • T é sobrejetora se \operatorname{Im}T=V.
Se \sigma\tau=\iota, então para todo v\in V tem-se \sigma(\tau(v))=v. Isso mostra imediatamente que \operatorname{Im}\sigma = V, porque qualquer v\in V é imagem de \tau(v) por \sigma. Logo \sigma é sobrejetora.
Além disso, \sigma\tau=\iota implica que \tau é injetora: se \tau(v)=0 então v=\sigma(\tau(v))=\sigma(0)=0, então \ker\tau=\{0\}.
Resumo desta etapa:
  • \sigma é sobrejetora.
  • \tau é injetora.

Passo 3

Usar a hipótese \dim(V)<\infty para transformar injeção/sobrejeção em bijeção.
Teorema essencial (fácil e importante): para uma aplicação linear T entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita, T é injetora se, e só se, é sobrejetora. Uma maneira rápida de ver isso é pelo Teorema do Núcleo e Imagem (teorema do posto-nulidade):
\dim V = \dim\ker T + \dim\operatorname{Im}T.
Se \dim V é finita, saber que \ker T=\{0\} (injeção) força \dim\operatorname{Im}T=\dim V, logo \operatorname{Im}T=V (sobrejeção), e vice-versa.
Aplicando ao nosso caso:
  • \tau é injetora (do Passo 2) e \dim V<\infty, então \tau é também sobrejetora. Assim \tau é bijetora e, portanto, invertível como operador linear.
  • \sigma é sobrejetora (do Passo 2) e, pelo mesmo argumento, é também injetora. Assim \sigma é bijetora e invertível.
Portanto concluímos que tanto \tau quanto \sigma são invertíveis.

Passo 4

Identificar as inversas e usar unicidade da inversa.
Uma vez que \tau é invertível, sua inversa \tau^{-1} é única. Mas já sabemos que \sigma\tau=\iota; isto mostra que \sigma é uma inversa à esquerda de \tau. Como a inversa (quando existe) é única e \tau tem inversa, obrigatoriamente
\sigma=\tau^{-1}.
Analogamente, a relação \tau\sigma=\iota também passa a valer (pois \tau\tau^{-1}=\iota). Assim \tau e \sigma são inversas uma da outra.
Resumo prático: \tau e \sigma são invertíveis e \sigma=\tau^{-1}.

Passo 5

Estratégia para escrever \sigma como polinômio em \tau.
Agora que já sabemos \sigma=\tau^{-1}, resta mostrar que \tau^{-1} é uma combinação polinomial de \tau, isto é, existe p(x)\in F[x] com \sigma=p(\tau).
Ideia-chave: em dimensão finita, operadores lineares satisfazem um polinômio não-nulo (por exemplo, o polinômio característico ou o polinômio mínimo). Em particular o polinômio mínimo de \tau anula \tau. Usaremos o polinômio mínimo e o fato de que \tau é inversível para aplicar um argumento de Bezout nos polinômios.

Passo 6

Introduzir o polinômio mínimo e verificar que não é divisível por x.
Definição rápida e intuitiva:
  • O polinômio mínimo m(x) de \tau é o polinômio monico de menor grau em F[x] tal que m(\tau)=0. Existe porque V tem dimensão finita (os vetores I,\tau,\tau^2,\dots são linearmente dependentes).
Como \tau é invertível, \tau não tem zero como autovalor. Se m(0)=0 então x divide m(x), o que implicaria m(\tau)=\tau q(\tau)=0 e então \tau não seria injetora — contradição. Logo
m(0)\neq 0.
Isto é importante: o polinômio mínimo e o polinômio x não têm fator comum não-constant, portanto são coprimos:
\gcd(m(x),x)=1.

Passo 7

Aplicar identidade de Bézout em F[x] e avaliar em \tau.
Pelo Algoritmo de Euclides para polinômios existe uma combinação linear em F[x] que expressa 1 como combinação de m(x) e x: existem a(x),b(x)\in F[x] tais que
a(x)m(x)+b(x)x=1.
Agora aplicamos essa identidade ao operador \tau (isto é, substituímos x por \tau). Usando funcional calculi polinomial:
a(\tau)m(\tau)+b(\tau)\tau = I.
Mas m(\tau)=0 por definição do polinômio mínimo, então sobra
b(\tau)\tau = I.
Multiplicando à direita por \tau^{-1} (que existe), obtemos
b(\tau)=\tau^{-1}.
Portanto podemos escolher p(x)=b(x). Isto fornece explicitamente um polinômio p tal que
\sigma=\tau^{-1}=p(\tau).

Passo 8

Exemplo ilustrativo (para fixar a ideia).
Considere V=F^2 e \tau cuja matriz, na base canônica, é \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}. Então \tau^2=I, o polinômio mínimo é m(x)=x^2-1 e m(0)=-1\neq0. Aqui x e m(x) são coprimos; de fato x\cdot x \equiv 1\pmod{m(x)}, então pode-se tomar b(x)=x. Assim b(\tau)=\tau e efetivamente \tau^{-1}=\tau. Isso mostra concretamente o tipo de construção feita nos passos anteriores.

Resposta

\tau e \sigma são invertíveis (bijetoras) e \sigma=\tau^{-1}.\n
Existe p(x)\in F[x] tal que \sigma=p(\tau).

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