Seja
. Se
satisfazem
, mostre que
e
são invertíveis e que existe um polinômio
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá que
é um espaço vetorial de dimensão finita e que
satisfazem
onde
é a aplicação identidade em
. O que é pedido:
- Mostrar que
e são invertíveis (isto é, bijetoras e possuem inversas lineares). - Mostrar que existe um polinômio
tal que .
Informações relevantes dadas:
- A relação
vale para todos os vetores de . -
.
Passo 2
Interpretação da equação
em termos de núcleo e imagem.
Definições rápidas (para ficar claro):
- Uma aplicação linear
é injetora se . -
é sobrejetora se .
Se
, então para todo
tem-se
. Isso mostra imediatamente que
, porque qualquer
é imagem de
por
. Logo
é sobrejetora.
Além disso,
implica que
é injetora: se
então
, então
.
Resumo desta etapa:
-
é sobrejetora. -
é injetora.
Passo 3
Usar a hipótese
para transformar injeção/sobrejeção em bijeção.
Teorema essencial (fácil e importante): para uma aplicação linear
entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita,
é injetora se, e só se, é sobrejetora. Uma maneira rápida de ver isso é pelo Teorema do Núcleo e Imagem (teorema do posto-nulidade):
Se
é finita, saber que
(injeção) força
, logo
(sobrejeção), e vice-versa.
Aplicando ao nosso caso:
-
é injetora (do Passo 2) e , então é também sobrejetora. Assim é bijetora e, portanto, invertível como operador linear. -
é sobrejetora (do Passo 2) e, pelo mesmo argumento, é também injetora. Assim é bijetora e invertível.
Portanto concluímos que tanto
quanto
são invertíveis.
Passo 4
Identificar as inversas e usar unicidade da inversa.
Uma vez que
é invertível, sua inversa
é única. Mas já sabemos que
; isto mostra que
é uma inversa à esquerda de
. Como a inversa (quando existe) é única e
tem inversa, obrigatoriamente
Analogamente, a relação
também passa a valer (pois
). Assim
e
são inversas uma da outra.
Resumo prático:
e
são invertíveis e
.
Passo 5
Estratégia para escrever
como polinômio em
.
Agora que já sabemos
, resta mostrar que
é uma combinação polinomial de
, isto é, existe
com
.
Ideia-chave: em dimensão finita, operadores lineares satisfazem um polinômio não-nulo (por exemplo, o polinômio característico ou o polinômio mínimo). Em particular o polinômio mínimo de
anula
. Usaremos o polinômio mínimo e o fato de que
é inversível para aplicar um argumento de Bezout nos polinômios.
Passo 6
Introduzir o polinômio mínimo e verificar que não é divisível por
.
Definição rápida e intuitiva:
- O polinômio mínimo
de é o polinômio monico de menor grau em tal que . Existe porque tem dimensão finita (os vetores são linearmente dependentes).
Como
é invertível,
não tem zero como autovalor. Se
então
divide
, o que implicaria
e então
não seria injetora — contradição. Logo
Isto é importante: o polinômio mínimo e o polinômio
não têm fator comum não-constant, portanto são coprimos:
Passo 7
Aplicar identidade de Bézout em
e avaliar em
.
Pelo Algoritmo de Euclides para polinômios existe uma combinação linear em
que expressa 1 como combinação de
e
: existem
tais que
Agora aplicamos essa identidade ao operador
(isto é, substituímos
por
). Usando funcional calculi polinomial:
Mas
por definição do polinômio mínimo, então sobra
Multiplicando à direita por
(que existe), obtemos
Portanto podemos escolher
. Isto fornece explicitamente um polinômio
tal que
Passo 8
Exemplo ilustrativo (para fixar a ideia).
Considere
e
cuja matriz, na base canônica, é
. Então
, o polinômio mínimo é
e
. Aqui
e
são coprimos; de fato
, então pode-se tomar
. Assim
e efetivamente
. Isso mostra concretamente o tipo de construção feita nos passos anteriores.
Resposta
Existe