Suponha que τ, σ \in L(V).
Mostre que τ=μ σ, para algum μ \in L(V), se, e somente se, \operatorname{ker}(τ) \subseteq \operatorname{ker}(σ).

Passo 1

O enunciado dá duas aplicações lineares \tau,\sigma \in L(V) (isto é, operadores lineares em um mesmo espaço vetorial V) e pede para mostrar uma equivalência do tipo `` \tau=\mu\sigma para algum \mu\in L(V) se, e somente se, \operatorname{ker}(\tau)\subseteq\operatorname{ker}(\sigma)‘’.
Informações relevantes fornecidas:
  • \tau e \sigma são aplicações lineares de V em V.
  • A expressão \tau=\mu\sigma significa \tau=\mu\circ\sigma, isto é, \tau(v)=\mu(\sigma(v)) para todo v\in V.
  • A expressão \operatorname{ker}(\cdot) denota o núcleo (conjunto dos vetores que são levados ao vetor zero).
O que se pede (literalmente): provar a equivalência entre a existência de \mu\in L(V) tal que \tau=\mu\sigma e a inclusão entre núcleos indicada.

Passo 2

Primeiro vamos verificar uma direção imediata e elementar (necessidade). Suponha que exista \mu\in L(V) com \tau=\mu\sigma. Quero relacionar \operatorname{ker}(\sigma) e \operatorname{ker}(\tau).
Definição usada: \operatorname{ker}(\sigma)=\{v\in V:\sigma(v)=0\}.
Se v\in\operatorname{ker}(\sigma) então \sigma(v)=0. Aplicando \tau=\mu\sigma obtemos
\tau(v)=\mu(\sigma(v))=\mu(0)=0,
pois uma aplicação linear manda 0 em 0. Portanto v\in\operatorname{ker}(\tau). Assim toda v em \operatorname{ker}(\sigma) pertence a \operatorname{ker}(\tau). Concluímos
\operatorname{ker}(\sigma)\subseteq\operatorname{ker}(\tau).
Comentário importante e prático: esta inclusão é a condição necessária que surge imediatamente da forma composta \tau=\mu\circ\sigma. Observe que isto é a inclusão no sentido oposto da que aparece na formulação que veio no enunciado. Já dá para ver que a afirmação com \operatorname{ker}(\tau)\subseteq\operatorname{ker}(\sigma) não é, em geral, correta como condição necessária.

Passo 3

Vou mostrar, com um contraexemplo simples, que a inclusão escrita no enunciado ( \operatorname{ker}(\tau)\subseteq\operatorname{ker}(\sigma)) não é necessária para existir \mu com \tau=\mu\sigma.
Exemplo concreto: tome V qualquer, escolha \sigma=\operatorname{id}_V (identidade) e \tau=0 (aplicação zero). Então \tau=\mu\sigma com \mu=0 (a aplicação zero satisfaz \mu\circ\operatorname{id}_V=0). Aqui \operatorname{ker}(\sigma)=\{0\} e \operatorname{ker}(\tau)=V, logo \operatorname{ker}(\tau)\subseteq\operatorname{ker}(\sigma) é falso em geral. Portanto a inclusão do enunciado não é a correta necessária.
Com isso já fica claro que a inclusão correta que aparece naturalmente é \operatorname{ker}(\sigma)\subseteq\operatorname{ker}(\tau). Nas próximas etapas eu vou provar também a suficiência dessa inclusão — ou seja, vou provar a equivalência correta:
\tau=\mu\sigma\text{ para algum }\mu\in L(V)\quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{ker}(\sigma)\subseteq\operatorname{ker}(\tau).

Passo 4

Agora a direção contraposta (suficiência): suponha
\operatorname{ker}(\sigma)\subseteq\operatorname{ker}(\tau).
Vou construir \mu\in L(V) tal que \tau=\mu\sigma.
Ideia: primeiro definir \mu em \operatorname{Im}(\sigma) por \mu(\sigma(v)):=\tau(v). Para que isso faça sentido preciso verificar que essa definição é bem-definida (ou seja, que se \sigma(v_1)=\sigma(v_2) então \tau(v_1)=\tau(v_2)).
Verificação de bem-definido: se \sigma(v_1)=\sigma(v_2) então \sigma(v_1-v_2)=0, logo v_1-v_2\in\operatorname{ker}(\sigma). Pela hipótese de inclusão isso implica v_1-v_2\in\operatorname{ker}(\tau), isto é, \tau(v_1-v_2)=0. Portanto \tau(v_1)=\tau(v_2). Assim a regra \mu(\sigma(v)):=\tau(v) não depende da escolha de representante v e é bem-definida em \operatorname{Im}(\sigma).
Linearidade em \operatorname{Im}(\sigma): se y_1=\sigma(v_1) e y_2=\sigma(v_2) e a,b\in\mathbb{F} então
\mu(ay_1+by_2)=\mu(\sigma(av_1+bv_2))=\tau(av_1+bv_2)=a\tau(v_1)+b\tau(v_2)=a\mu(y_1)+b\mu(y_2),
onde usei linearidade de \sigma e \tau. Portanto \mu é linear quando restrita a \operatorname{Im}(\sigma).
Extensão a todo V: escolha um subespaço complementar W de \operatorname{Im}(\sigma) em V, ou seja, escolha W tal que
V=\operatorname{Im}(\sigma)\oplus W.
Isso sempre é possível (escolhendo uma base de \operatorname{Im}(\sigma) e completando-a para uma base de V). Defina agora \mu em todo V da seguinte forma:
  • para y\in\operatorname{Im}(\sigma), \mu(y) é o valor já definido acima;
  • para w\in W, defina \mu(w)=0 (ou qualquer outra definição linear; a escolha zero é simples e válida);
  • e estenda por linearidade a todos os vetores de V.
Essa definição dá uma aplicação linear \mu:V\to V (pois foi definida em uma soma direta por partes lineares). Para todo v\in V temos \sigma(v)\in\operatorname{Im}(\sigma) e, pela construção,
\mu(\sigma(v))=\tau(v).
Portanto \tau=\mu\sigma, como queríamos.
Observação sobre unicidade: a aplicação \mu fica unicamente determinada em \operatorname{Im}(\sigma) pela condição \mu(\sigma(v))=\tau(v). Se \operatorname{Im}(\sigma)\neq V então \mu pode ser estendida de muitos modos diferentes a V; se \sigma for sobrejetora então \operatorname{Im}(\sigma)=V e a extensão é única.

Passo 5

Conclusão e interpretação intuitiva: a condição necessária e suficiente para existir \mu com \tau=\mu\sigma é que tudo que \sigma manda para zero seja também mandado para zero por \tau; em símbolos,
\operatorname{ker}(\sigma)\subseteq\operatorname{ker}(\tau).
Intuição: se \sigma identifica (colapsa) dois vetores v_1 e v_2 porque \sigma(v_1)=\sigma(v_2), então qualquer \mu que faça \tau=\mu\sigma deve mandar \sigma(v_1) e \sigma(v_2) para o mesmo vetor \tau(v_1)=\tau(v_2). Isso força a condição sobre núcleos e, quando ela vale, permite definir \mu de forma consistente sobre \operatorname{Im}(\sigma) e estendê-la linearmente.

Resposta

\tau=\mu\sigma para algum \mu\in L(V) se, e somente se, \operatorname{ker}(\sigma)\subseteq\operatorname{ker}(\tau).

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