Suponha que
.
Mostre que
, para algum
, se, e somente se,
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá duas aplicações lineares
(isto é, operadores lineares em um mesmo espaço vetorial
) e pede para mostrar uma equivalência do tipo ``
para algum
se, e somente se,
‘’.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
e são aplicações lineares de em . - A expressão
significa , isto é, para todo . - A expressão
denota o núcleo (conjunto dos vetores que são levados ao vetor zero).
O que se pede (literalmente): provar a equivalência entre a existência de
tal que
e a inclusão entre núcleos indicada.
Passo 2
Primeiro vamos verificar uma direção imediata e elementar (necessidade). Suponha que exista
com
. Quero relacionar
e
.
Definição usada:
.
Se
então
. Aplicando
obtemos
pois uma aplicação linear manda
em
. Portanto
. Assim toda
em
pertence a
. Concluímos
Comentário importante e prático: esta inclusão é a condição necessária que surge imediatamente da forma composta
. Observe que isto é a inclusão no sentido oposto da que aparece na formulação que veio no enunciado. Já dá para ver que a afirmação com
não é, em geral, correta como condição necessária.
Passo 3
Vou mostrar, com um contraexemplo simples, que a inclusão escrita no enunciado (
) não é necessária para existir
com
.
Exemplo concreto: tome
qualquer, escolha
(identidade) e
(aplicação zero). Então
com
(a aplicação zero satisfaz
). Aqui
e
, logo
é falso em geral. Portanto a inclusão do enunciado não é a correta necessária.
Com isso já fica claro que a inclusão correta que aparece naturalmente é
. Nas próximas etapas eu vou provar também a suficiência dessa inclusão — ou seja, vou provar a equivalência correta:
Passo 4
Agora a direção contraposta (suficiência): suponha
Vou construir
tal que
.
Ideia: primeiro definir
em
por
. Para que isso faça sentido preciso verificar que essa definição é bem-definida (ou seja, que se
então
).
Verificação de bem-definido: se
então
, logo
. Pela hipótese de inclusão isso implica
, isto é,
. Portanto
. Assim a regra
não depende da escolha de representante
e é bem-definida em
.
Linearidade em
: se
e
e
então
onde usei linearidade de
e
. Portanto
é linear quando restrita a
.
Extensão a todo
: escolha um subespaço complementar
de
em
, ou seja, escolha
tal que
Isso sempre é possível (escolhendo uma base de
e completando-a para uma base de
). Defina agora
em todo
da seguinte forma:
- para
, é o valor já definido acima; - para
, defina (ou qualquer outra definição linear; a escolha zero é simples e válida); - e estenda por linearidade a todos os vetores de
.
Essa definição dá uma aplicação linear
(pois foi definida em uma soma direta por partes lineares). Para todo
temos
e, pela construção,
Portanto
, como queríamos.
Observação sobre unicidade: a aplicação
fica unicamente determinada em
pela condição
. Se
então
pode ser estendida de muitos modos diferentes a
; se
for sobrejetora então
e a extensão é única.
Passo 5
Conclusão e interpretação intuitiva: a condição necessária e suficiente para existir
com
é que tudo que
manda para zero seja também mandado para zero por
; em símbolos,
Intuição: se
identifica (colapsa) dois vetores
e
porque
, então qualquer
que faça
deve mandar
e
para o mesmo vetor
. Isso força a condição sobre núcleos e, quando ela vale, permite definir
de forma consistente sobre
e estendê-la linearmente.