Seja \tau \in L(V). Se \tau \sigma=\sigma \tau para todo \sigma \in L(V), mostre que \tau=a \iota, para algum a \in F, onde \iota é a aplicação identidade.

Passo 1

O enunciado nos dá uma aplicação linear \tau\in L(V) tal que
\tau\sigma=\sigma\tau\quad\text{para todo }\sigma\in L(V).
A tarefa é mostrar que existe a\in F com
\tau = a\,\iota,
onde \iota é a aplicação identidade em V. Vou listar as informações relevantes:
  • Dado: \tau\in L(V) e \tau comuta com todo \sigma\in L(V).
  • Pedido: provar que \tau é um múltiplo escalar da identidade, ou seja, existe a\in F tal que \tau(v)=a v para todo v\in V.

Passo 2

Tratar o caso trivial: se V=\{0\} (espaço nulo), então a única aplicação linear é a nula, e a identidade \iota também é a aplicação nula. Portanto \tau=0 = 0\cdot\iota, e a afirmação é verdadeira com a=0. A partir de agora suponho V\neq\{0\}.

Passo 3

Escolher um vetor não nulo e construir um funcional linear sobre ele. Seja v\in V com v\neq0. Existe um funcional linear f\in V^* (isto é, f:V\to F linear) tal que
f(v)=1.
Explicação prática: estende-se v a uma base de V (isso sempre é possível) e define-se f como a forma linear que vale 1 em v e 0 nos demais vetores da base. Assim f é linear e satisfaz f(v)=1.

Passo 4

Para um vetor arbitrário w\in V definimos a aplicação \sigma_w:V\to V por
\sigma_w(x)=f(x)\,w\quad\text{para todo }x\in V.
Mostrar que \sigma_w\in L(V): dado x,y\in V e \lambda\in F,
\sigma_w(x+\lambda y)=f(x+\lambda y)w=(f(x)+\lambda f(y))w=f(x)w+\lambda f(y)w=\sigma_w(x)+\lambda\sigma_w(y).
Portanto \sigma_w é linear. Note também que, usando f(v)=1,
\sigma_w(v)=f(v)w=1\cdot w=w.

Passo 5

Usar a hipótese de comutatividade com esta \sigma_w. Como \tau comuta com todo operador, em particular com \sigma_w, temos
\tau\circ\sigma_w=\sigma_w\circ\tau.
Aplicando essa igualdade ao vetor v obtemos
\tau(\sigma_w(v))=\sigma_w(\tau(v)).
Pelo que vimos \sigma_w(v)=w, então a igualdade vira
\tau(w)=\sigma_w(\tau(v)).
Pela definição de \sigma_w,
\sigma_w(\tau(v))=f(\tau(v))\,w.
Portanto para todo w\in V
\tau(w)=f(\tau(v))\,w.

Passo 6

Da igualdade anterior segue que existe um escalar a\in F, dado por
a := f(\tau(v)),
tal que \tau(w)=a w para todo w\in V. Isso mostra exatamente que
\tau = a\,\iota.
Comentário final e encorajamento: o escalar a não depende de w (porque foi obtido apenas a partir de v fixo e f), e a construção com o funcional f é a manobra clássica para forçar operações de posto 1 que “testam” o comportamento de \tau. Pronto — chegamos à conclusão desejada.

Resposta

\tau = a\,\iota, com a=f(\tau(v))\in F (usando v\neq0 e f\in V^* tal que f(v)=1).

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