Seja
. Se
para todo
, mostre que
, para algum
, onde
é a aplicação identidade.
Passo 1
O enunciado nos dá uma aplicação linear
tal que
A tarefa é mostrar que existe
com
onde
é a aplicação identidade em
. Vou listar as informações relevantes:
- Dado:
e comuta com todo . - Pedido: provar que
é um múltiplo escalar da identidade, ou seja, existe tal que para todo .
Passo 2
Tratar o caso trivial: se
(espaço nulo), então a única aplicação linear é a nula, e a identidade
também é a aplicação nula. Portanto
, e a afirmação é verdadeira com
. A partir de agora suponho
.
Passo 3
Escolher um vetor não nulo e construir um funcional linear sobre ele. Seja
com
. Existe um funcional linear
(isto é,
linear) tal que
Explicação prática: estende-se
a uma base de
(isso sempre é possível) e define-se
como a forma linear que vale
em
e
nos demais vetores da base. Assim
é linear e satisfaz
.
Passo 4
Para um vetor arbitrário
definimos a aplicação
por
Mostrar que
: dado
e
,
Portanto
é linear. Note também que, usando
,
Passo 5
Usar a hipótese de comutatividade com esta
. Como
comuta com todo operador, em particular com
, temos
Aplicando essa igualdade ao vetor
obtemos
Pelo que vimos
, então a igualdade vira
Pela definição de
,
Portanto para todo
Passo 6
Da igualdade anterior segue que existe um escalar
, dado por
tal que
para todo
. Isso mostra exatamente que
Comentário final e encorajamento: o escalar
não depende de
(porque foi obtido apenas a partir de
fixo e
), e a construção com o funcional
é a manobra clássica para forçar operações de posto
que “testam” o comportamento de
. Pronto — chegamos à conclusão desejada.