Seja \operatorname{Ref}_{\ell}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} o operador de reflexão em torno da reta de equação y=\frac{1}{\sqrt{3}} x, e seja R_{\frac{\pi}{4}}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} o operador de rotação de ângulo \pi / 4. Mostre que as composições \operatorname{Ref}_{\ell} \circ R_{\frac{\pi}{4}} : \mathbb{R}^{\frac{4}{2}} \rightarrow \mathbb{R}^{2} e R_{\frac{\pi}{4}} \circ \operatorname{Ref}_{\ell}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} são operadores de reflexão (identifique as retas em torno das quais ocorrem as reflexões).

Passo 1

O enunciado define a reflexão \operatorname{Ref}_{\ell} em torno da reta
\ell:\;y=\tfrac{1}{\sqrt{3}}\,x
e a rotação
R_{\pi/4}
de ângulo \pi/4. Precisamos mostrar que
\operatorname{Ref}_{\ell}\circ R_{\pi/4} e R_{\pi/4}\circ\operatorname{Ref}_{\ell}
são reflexões e identificar as retas-eixo de cada uma.

Passo 2

Lembrando que toda rotação R satisfaz \det R=+1 e toda reflexão \operatorname{Ref} satisfaz \det\operatorname{Ref}=-1, a composição de uma rotação e uma reflexão tem determinante
\det\bigl(R\circ\operatorname{Ref}\bigr) =\det R\;\det\operatorname{Ref} =(+1)\cdot(-1)=-1,
logo é uma reflexão.

Passo 3

Para determinar a reta de reflexão de uma transformação ortogonal T com \det T=-1, basta achar o ângulo \alpha tal que
T \;=\; R_{\alpha}\;\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix}\;R_{-\alpha},
pois essa fórmula caracteriza a reflexão em torno da reta que faz ângulo \alpha com o eixo x.
Usamos a conjugação
\operatorname{Ref}_{\varphi} =R_{\varphi}\;D\;R_{-\varphi}, \quad D=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix},
e calculamos
\operatorname{Ref}_{\varphi}\circ R_{\theta} =R_{\varphi}\,D\,R_{-\varphi}R_{\theta} =R_{\varphi}\,D\,R_{\theta-\varphi} =R_{\,\varphi-(\theta-\varphi)}\,D =R_{\,2\varphi-\theta}\,D.
Para escrever isso na forma R_{\alpha}DR_{-\alpha} resolvemos
R_{2\varphi-\theta}\,D \;=\; R_{\alpha}\,D\,R_{-\alpha} \;\Longrightarrow\; \alpha \;=\;\varphi - \tfrac{\theta}{2}.
De modo análogo,
R_{\theta}\circ\operatorname{Ref}_{\varphi} =R_{\theta}R_{\varphi}\,D\,R_{-\varphi} =R_{\theta+\varphi}\,D =R_{\alpha}\,D\,R_{-\alpha},
onde
\alpha \;=\;\varphi + \tfrac{\theta}{2}.

Passo 4

No nosso caso \varphi=\pi/6 (reta y=\tfrac1{\sqrt3}x) e \theta=\pi/4. Assim
\operatorname{Ref}_{\ell}\circ R_{\pi/4} =\operatorname{Ref}_{\pi/6}\circ R_{\pi/4} =\operatorname{Ref}_{\pi/6 - \pi/8} =\operatorname{Ref}_{\pi/24},
R_{\pi/4}\circ \operatorname{Ref}_{\ell} =R_{\pi/4}\circ \operatorname{Ref}_{\pi/6} =\operatorname{Ref}_{\pi/6 + \pi/8} =\operatorname{Ref}_{7\pi/24}.

Passo 5

As retas-eixo dessas reflexões são, respectivamente, as retas que fazem ângulos \pi/24 e 7\pi/24 com o eixo x. Em coordenadas:
\ell_{1}:\;y=\tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{24}\bigr)\,x, \qquad \ell_{2}:\;y=\tan\!\bigl(\tfrac{7\pi}{24}\bigr)\,x.

Resposta

\operatorname{Ref}_{\ell}\circ R_{\pi/4} é a reflexão em torno de
\ell_{1}:\;y=\tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{24}\bigr)\,x,
e
R_{\pi/4}\circ \operatorname{Ref}_{\ell} é a reflexão em torno de
\ell_{2}:\;y=\tan\!\bigl(\tfrac{7\pi}{24}\bigr)\,x.

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