Seja
o operador de reflexão em torno da reta de equação
, e seja
o operador de rotação de ângulo
. Mostre que as composições
:
e
são operadores de reflexão (identifique as retas em torno das quais ocorrem as reflexões).
Passo 1
O enunciado define a reflexão
em torno da reta
e a rotação
de ângulo
. Precisamos mostrar que
e
são reflexões e identificar as retas-eixo de cada uma.
são reflexões e identificar as retas-eixo de cada uma.
Passo 2
Lembrando que toda rotação
satisfaz
e toda reflexão
satisfaz
, a composição de uma rotação e uma reflexão tem determinante
logo é uma reflexão.
Passo 3
Para determinar a reta de reflexão de uma transformação ortogonal
com
, basta achar o ângulo
tal que
pois essa fórmula caracteriza a reflexão em torno da reta que faz ângulo
com o eixo
.
Usamos a conjugação
Usamos a conjugação
e calculamos
Para escrever isso na forma
resolvemos
De modo análogo,
onde
Passo 4
No nosso caso
(reta
) e
. Assim
Passo 5
As retas-eixo dessas reflexões são, respectivamente, as retas que fazem ângulos
e
com o eixo
. Em coordenadas:
Resposta
e
é a reflexão em torno de