Sejam L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} um cisalhamento horizontal e R_{\theta}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} o operador de rotação de ângulo \theta. Verifique que a composição R_{\theta} \circ L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} é um operador de cisalhamento paralelo à reta de equação y=(\tan \theta) x e com mesmo fator de cisalhamento que L (Dica: não é necessário cálculos, perceba isso geometricamente).
Passo 1
O enunciado diz que L:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 é um cisalhamento horizontal (fator de cisalhamento k) e que R_{\theta} é a rotação de ângulo \theta. Queremos mostrar que
R_{\theta}\circ L
é um cisalhamento paralelo à reta de equação y=(\tan\theta)\,x e com o mesmo fator k. Vamos usar apenas argumento geométrico, sem calcular matrizes.
Passo 2
Definição geométrica de cisalhamento de fator k e eixo E:
Todos os pontos de E permanecem fixos.
Cada reta paralela a E é movida paralelamente a si mesma, numa distância proporcional ao afastamento da reta a E, com razão de proporcionalidade k.
Passo 3
No caso do cisalhamento horizontal L:
O eixo fixo é a reta y=0 (o eixo x).
O “deslize” ocorre paralelo ao eixo x.
Se um ponto (x,y) tem distância |y| até o eixo y=0, ele é deslocado horizontalmente em k\,y (para a direita se k\,y>0, para a esquerda se k\,y<0).
Passo 4
Agora aplicamos a rotação R_{\theta}após esse cisalhamento. Geometricamente:
A reta fixa y=0 (eixo do cisalhamento) é levada por R_{\theta} à reta de direção \theta, ou seja, à reta y=(\tan\theta)\,x.
As direções paralelas ao eixo x (direção do deslizamento em L) são giradas para ficarem paralelas a essa mesma reta y=(\tan\theta)\,x.
Passo 5
A rotação preserva distâncias e ângulos. Logo:
A distância original |y| de um ponto até o eixo y=0 passa a ser a distância do ponto rotacionado até a reta y=(\tan\theta)\,x.
O deslocamento horizontal k\,y em L vira um deslocamento paralelo à reta y=(\tan\theta)\,x de mesma magnitude \bigl|k\,y\bigr|.
Passo 6
Portanto, a composição R_{\theta}\circ L satisfaz exatamente as duas condições de um cisalhamento:
Fixa toda a reta R_{\theta}(y=0), que é y=(\tan\theta)\,x.
Move cada reta paralela a y=(\tan\theta)\,x numa distância proporcional à distância ao eixo, com a mesmíssima razão k.
Resposta
A transformação R_{\theta}\circ L é um cisalhamento de fator k cujo eixo é a reta y=(\tan\theta)\,x.