Sejam L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} e S: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} os cisalhamentos horizontal e vertical, respectivamente, dados por
L\left(\left[\begin{array}{l} x \\\ y \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc} 1 & 1-\sqrt{2} \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\\ y \end{array}\right], \quad S\left(\left[\begin{array}{l} x \\\ y \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\\ y \end{array}\right] .
Qual transformação geométrica corresponde à composição L \circ S \circ L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} ?

Passo 1

O enunciado dá dois cisalhamentos em \mathbb{R}^2:
a) o cisalhamento horizontal
M_{L} = \begin{pmatrix} 1 & 1 - \sqrt{2}\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}
b) o cisalhamento vertical
M_{S} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[6pt] \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 1 \end{pmatrix}
e pede a transformação geométrica da composição
L\circ S\circ L,
cuja matriz é
M = M_{L}\,M_{S}\,M_{L}.
Para resolver, vamos multiplicar essas matrizes e, em seguida, reconhecer o tipo de transformação pelo resultado.]

Passo 2

Primeiro calcule M_{S}M_{L}:
M_{S}M_{L} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1-\sqrt{2}\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1-\sqrt{2}\\[6pt] \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.
Agora multiplique à esquerda por M_{L}:
M = M_{L}\,(M_{S}M_{L}) = \begin{pmatrix} 1 & 1-\sqrt{2}\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1-\sqrt{2}\\[6pt] \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[6pt] \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.]

Passo 3

A matriz obtida
M = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[6pt] \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}
é exatamente da forma
\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
com \cos\theta=\sin\theta=1/\sqrt{2}, ou seja, \theta=\pi/4.]

Resposta

A composição L\circ S\circ L é uma rotação de 45^\circ (ou \pi/4 radianos) no sentido anti-horário em torno da origem.

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