Seja (A, \oplus, \odot) um anel com unidade. Denote por 0_{A} um elemento neutro de \oplus \mathrm{e} por 1_{A} um elemento neutro de \odot. Mostre que:
se a \in A também é elemento neutro em relação a \oplus, então a=0_{A}. Em outras palavras, o elemento neutro de \oplus é único;

Passo 1

O enunciado dá: (A,\oplus,\odot) é um anel com unidade. Denotamos por 0_{A} o elemento neutro de \oplus e por 1_{A} o elemento neutro de \odot. Suponho que existe a\in A que também é elemento neutro em relação a \oplus.
O que pede: mostrar que a=0_{A}, ou seja, provar que o elemento neutro de \oplus é único.

Passo 2

Vou recordar cuidadosamente o que significa ser elemento neutro de \oplus. Um elemento e\in A é neutro para \oplus quando, para todo x\in A, vale
x\oplus e = x \qquad\text{e}\qquad e\oplus x = x.
Portanto:
  • Como 0_{A} é neutro, para todo x\in A temos x\oplus 0_{A}=x e 0_{A}\oplus x=x.
  • Como a também é neutro (hipótese), para todo x\in A temos x\oplus a=x e a\oplus x=x.

Passo 3

Agora aplico as duas propriedades anteriores com a mesma escolha de x para relacioná-las. Escolho x=a e x=0_{A} quando for conveniente.
Usando que 0_{A} é neutro e tomando x=a, obtemos:
a\oplus 0_{A} = a.

Passo 4

Usando que a é neutro e tomando x=0_{A}, obtemos:
a\oplus 0_{A} = 0_{A}.

Passo 5

Das igualdades dos passos anteriores temos uma mesma expressão a\oplus 0_{A} igual a a e igual a 0_{A}. Portanto,
a = a\oplus 0_{A} = 0_{A},
logo a=0_{A}.

Passo 6

Comentário final (didático): o raciocínio anterior é o argumento padrão de unicidade do elemento neutro: se dois elementos são ambos neutros para a mesma operação, ao aplicarmos a definição com um e com o outro obtemos que cada um é igual ao outro. Assim, não podem existir dois neutros distintos.

Resposta

a=0_{A}

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