Seja
um anel com unidade. Denote por
um elemento neutro de
por
um elemento neutro de
. Mostre que:
se
também é elemento neutro em relação a
, então
. Em outras palavras, o elemento neutro de
é único;
se
Passo 1
O enunciado dá:
é um anel com unidade. Denotamos por
o elemento neutro de
e por
o elemento neutro de
. Suponho que existe
que também é elemento neutro em relação a
.
O que pede: mostrar que , ou seja, provar que o elemento neutro de
é único.
O que pede: mostrar que
Passo 2
Vou recordar cuidadosamente o que significa ser elemento neutro de
. Um elemento
é neutro para
quando, para todo
, vale
Portanto:
- Como
é neutro, para todo temos e . - Como
também é neutro (hipótese), para todo temos e .
Passo 3
Agora aplico as duas propriedades anteriores com a mesma escolha de
para relacioná-las. Escolho
e
quando for conveniente.
Usando que
é neutro e tomando
, obtemos:
Passo 4
Usando que
é neutro e tomando
, obtemos:
Passo 5
Das igualdades dos passos anteriores temos uma mesma expressão
igual a
e igual a
. Portanto,
logo
.
Passo 6
Comentário final (didático): o raciocínio anterior é o argumento padrão de unicidade do elemento neutro: se dois elementos são ambos neutros para a mesma operação, ao aplicarmos a definição com um e com o outro obtemos que cada um é igual ao outro. Assim, não podem existir dois neutros distintos.