Vimos em aula que ( \mathbb{Z}_{n},+, \cdot ) é um anel comutativo com unidade. Determine os elementos inversíveis, cada qual com seu respectivo inverso, em:
\left(\mathbb{Z}_{13},+, \cdot\right)

Passo 1

O enunciado dá o anel \left(\mathbb{Z}_{13},+,\cdot\right) (ou seja, as classes de restos módulo 13 com adição e multiplicação módulo 13) e pede para determinar os elementos inversíveis (unidades) e, para cada um deles, seu respectivo inverso multiplicativo.
Informações relevantes fornecidas:
\text{o conjunto subjacente é } \{0,1,2,\dots,12\}\\ \text{com operações módulo }13.éçõó
O que é pedido:
  • listar todos os elementos de \mathbb{Z}_{13} que têm inverso multiplicativo;
  • para cada elemento inversível, indicar o elemento que é seu inverso (isto é, a e b tais que ab\equiv 1\pmod{13}).

Passo 2

O que significa ser inversível aqui (uma mini-aula): um elemento a\in\{0,1,\dots,12\} é inversível em \mathbb{Z}_{13} se existe b\in\{0,1,\dots,12\} tal que
ab\equiv 1\pmod{13}.
Uma propriedade central que vamos usar (e que é fácil de entender): em \mathbb{Z}_n um elemento a é inversível se, e somente se, \gcd(a,n)=1. Explicando isso em linguagem simples:
  • Se existe b com ab\equiv 1\pmod{n}, então qualquer divisor comum de a e n divide 1, logo \gcd(a,n)=1.
  • Recíproco: se \gcd(a,n)=1, pelo Teorema de Bézout existem inteiros x,y tais que ax+ny=1. Reduzindo módulo n obtemos ax\equiv 1\pmod{n}, ou seja, a classe de x é o inverso de a. Na prática, para encontrar esse x usamos o algoritmo de Euclides estendido.

Passo 3

Aplicando ao caso n=13: como 13 é primo, qualquer inteiro a com 1\le a\le 12 satisfaz \gcd(a,13)=1. Logo, todos os elementos não nulos de \mathbb{Z}_{13} são inversíveis. Conclusão parcial:
\text{os possíveis inversíveis são }1,2,\dots,12.ííã

Passo 4

Agora precisamos achar, para cada a\in\{1,\dots,12\}, um b\in\{1,\dots,12\} com
ab\equiv 1\pmod{13}.
Métodos práticos para usar na prova:
  • Método rápido por tentativa (útil quando o módulo é pequeno): testar multiplicações até achar b.
  • Método sistemático: usar o algoritmo de Euclides estendido para resolver ax+13y=1 e pegar x módulo 13 como inverso.
    Vou mostrar um exemplo do Euclides estendido para a=2, porque isso é útil para você aprender a fazer quando não dá para adivinhar rapidamente:
13 = 6\cdot 2 + 1.
Daí 1 = 13 - 6\cdot 2. Isso mostra que -6 é solução da congruência 2x\equiv 1\pmod{13}. Como -6\equiv 7\pmod{13}, obtemos que 7 é o inverso de 2:
2\cdot 7 = 14 \equiv 1\pmod{13}.
Esse tipo de retro-substituição é exatamente o Euclides estendido em pequena escala.

Passo 5

Agora vou encontrar os inversos explicitamente. Para cada a farei a\cdot b e mostrarei que é congruente a 1 módulo 13.
  • Para a=1:
1\cdot 1 = 1 \equiv 1\pmod{13},
logo 1^{-1}=1.
  • Para a=2 (já fiz acima):
2\cdot 7 = 14 \equiv 1\pmod{13},
logo 2^{-1}=7.
  • Para a=3:
3\cdot 9 = 27 \equiv 1\pmod{13}\quad(\text{pois }27-2\cdot13=1),
logo 3^{-1}=9.
  • Para a=4:
4\cdot 10 = 40 \equiv 1\pmod{13}\quad(\text{pois }40-3\cdot13=1),
logo 4^{-1}=10.
  • Para a=5:
5\cdot 8 = 40 \equiv 1\pmod{13},
logo 5^{-1}=8.
  • Para a=6:
6\cdot 11 = 66 \equiv 1\pmod{13}\quad(\text{pois }66-5\cdot13=1),
logo 6^{-1}=11.
  • Para a=7 (já aparece como inverso de 2):
7\cdot 2 = 14 \equiv 1\pmod{13},
logo 7^{-1}=2.
  • Para a=8 (já aparece como inverso de 5):
8\cdot 5 = 40 \equiv 1\pmod{13},
logo 8^{-1}=5.
  • Para a=9 (já aparece como inverso de 3):
9\cdot 3 = 27 \equiv 1\pmod{13},
logo 9^{-1}=3.
  • Para a=10 (já aparece como inverso de 4):
10\cdot 4 = 40 \equiv 1\pmod{13},
logo 10^{-1}=4.
  • Para a=11 (já aparece como inverso de 6):
11\cdot 6 = 66 \equiv 1\pmod{13},
logo 11^{-1}=6.
  • Para a=12: note que 12\equiv -1\pmod{13}, então
12\cdot 12 = 144 \equiv 1\pmod{13}\quad(\text{pois }144-11\cdot13=1),
logo 12^{-1}=12.
Observação prática: quando o módulo é primo, muitas vezes aparece um “emparelhamento” como vimos: (2,7),(3,9),(4,10),(5,8),(6,11) e os elementos 1 e 12 são auto-inversos.

Resposta

1^{-1}=1
2^{-1}=7
3^{-1}=9
4^{-1}=10
5^{-1}=8
6^{-1}=11
7^{-1}=2
8^{-1}=5
9^{-1}=3
10^{-1}=4
11^{-1}=6
12^{-1}=12

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