Vimos em aula que (
) é um anel comutativo com unidade. Determine os elementos inversíveis, cada qual com seu respectivo inverso, em:
Passo 1
O enunciado dá o anel
(ou seja, as classes de restos módulo
com adição e multiplicação módulo
) e pede para determinar os elementos inversíveis (unidades) e, para cada um deles, seu respectivo inverso multiplicativo.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
O que é pedido:
- listar todos os elementos de
que têm inverso multiplicativo; - para cada elemento inversível, indicar o elemento que é seu inverso (isto é,
e tais que ).
Passo 2
O que significa ser inversível aqui (uma mini-aula): um elemento
é inversível em
se existe
tal que
Uma propriedade central que vamos usar (e que é fácil de entender): em
um elemento
é inversível se, e somente se,
. Explicando isso em linguagem simples:
- Se existe
com , então qualquer divisor comum de e divide , logo . - Recíproco: se
, pelo Teorema de Bézout existem inteiros tais que . Reduzindo módulo obtemos , ou seja, a classe de é o inverso de . Na prática, para encontrar esse usamos o algoritmo de Euclides estendido.
Passo 3
Aplicando ao caso
: como
é primo, qualquer inteiro
com
satisfaz
. Logo, todos os elementos não nulos de
são inversíveis. Conclusão parcial:
Passo 4
Agora precisamos achar, para cada
, um
com
Métodos práticos para usar na prova:
- Método rápido por tentativa (útil quando o módulo é pequeno): testar multiplicações até achar
. - Método sistemático: usar o algoritmo de Euclides estendido para resolver
e pegar módulo como inverso.
Vou mostrar um exemplo do Euclides estendido para, porque isso é útil para você aprender a fazer quando não dá para adivinhar rapidamente:
Daí
. Isso mostra que
é solução da congruência
. Como
, obtemos que
é o inverso de
:
Esse tipo de retro-substituição é exatamente o Euclides estendido em pequena escala.
Passo 5
Agora vou encontrar os inversos explicitamente. Para cada
farei
e mostrarei que é congruente a
módulo
.
- Para
:
logo
.
- Para
(já fiz acima):
logo
.
- Para
:
logo
.
- Para
:
logo
.
- Para
:
logo
.
- Para
:
logo
.
- Para
(já aparece como inverso de ):
logo
.
- Para
(já aparece como inverso de ):
logo
.
- Para
(já aparece como inverso de ):
logo
.
- Para
(já aparece como inverso de ):
logo
.
- Para
(já aparece como inverso de ):
logo
.
- Para
: note que , então
logo
.
Observação prática: quando o módulo é primo, muitas vezes aparece um “emparelhamento” como vimos:
e os elementos
e
são auto-inversos.