Vimos em aula que ( \mathbb{Z}_{n},+, \cdot ) é um anel comutativo com unidade. Determine os elementos inversíveis, cada qual com seu respectivo inverso, em:
\left(\mathbb{Z}_{15},+, \cdot\right)

Passo 1

O enunciado pede: "Determine os elementos inversíveis, cada qual com seu respectivo inverso, em \left(\mathbb{Z}_{15},+, \cdot\right)".\n
Informações dadas (relevantes para resolver):\n
  • O anel é \mathbb{Z}_{15}, ou seja, estamos trabalhando com as classes residuais módulo 15: os elementos são \{\,\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{14}\,\}. Para simplificar escrevo apenas 0,1,\dots,14 entendendo que é módulo 15.\n
  • Queremos os elementos multiplicativamente inversíveis (unidades) e, para cada um, o elemento que é seu inverso multiplicativo modulo 15.\n

Passo 2

O que significa “elemento inversível” aqui? Vou explicar de um jeito bem direto e prático.\n
  • Um elemento a\in\mathbb{Z}_{15} é inversível (ou é uma unidade) se existe b\in\mathbb{Z}_{15} tal que
a\cdot b \equiv 1 \pmod{15}.
Esse b é chamado de inverso multiplicativo de a e denotamos b=a^{-1}.\n
  • Um critério fundamental (que vou justificar de forma curta e clara) diz: a é inversível em \mathbb{Z}_{15} se, e somente se,
\gcd(a,15)=1.
Justificativa intuitiva e prática (baseada no Lema de Bezout): se \gcd(a,15)=1, então existem inteiros x,y tais que
ax + 15y = 1.
Reduzindo módulo 15 obtemos ax\equiv 1\pmod{15}, logo x é o inverso de a (tomando x reduzido a uma classe entre 0 e 14). Inversamente, se existe b com ab\equiv1\pmod{15}, então algum combo linear de a e 15 1, logo \gcd(a,15)=1. Isso é prático para a prova: procurar b e verificar a gcd.\n

Passo 3

Agora vamos determinar quais a\in\{0,1,\dots,14\} satisfazem \gcd(a,15)=1.\n
  • Observe que 15=3\cdot 5. Assim, um número a é coprimo com 15 exatamente quando não é múltiplo de 3 nem de 5.\n
  • Liste os múltiplos de 3 entre 0 e 14: 0,3,6,9,12. Estes não são unidades.\n
  • Liste os múltiplos de 5 entre 0 e 14: 0,5,10. Estes também não são unidades.\n
  • Excluindo esses, os elementos restantes entre 1 e 14 são candidatos e, de fato, unidades. Assim as unidades são
\{\,1,2,4,7,8,11,13,14\,\}.
Confira a conta: \varphi(15)=\varphi(3)\varphi(5)=(3-1)(5-1)=2\cdot 4=8, então esperamos exatamente 8 unidades, batendo com a lista acima.\n

Passo 4

Agora temos que encontrar, para cada unidade a acima, um elemento b tal que ab\equiv1\pmod{15}. Vou explicar duas maneiras práticas que você pode usar na prova:
Método A — tentativa direta por multiplicação: para números pequenos é rápido tentar multiplicações até achar ab\equiv1.
Método B — algoritmo de Euclides estendido (mais sistemático): resolve ax+15y=1 e dá x como inverso. Vou mostrar um exemplo com o algoritmo estendido e depois uso o método direto (mais rápido aqui) para os demais.
Exemplo via Euclides estendido para a=7:\n
  • Divisões para expressar o gcd:
15 = 2\cdot 7 + 1.
Reescrevendo,
1 = 15 - 2\cdot 7.
Isso já está na forma 1 = (1)\cdot 15 + (-2)\cdot 7. Rearranjando para ver o coeficiente de 7:
-2\cdot 7 + 1\cdot 15 = 1.
Reduzindo módulo 15 obtemos -2\cdot 7 \equiv 1 \pmod{15}. Então -2 é inverso de 7 modulo 15. Convertendo -2 para a classe entre 0 e 14: -2\equiv 13\pmod{15}. Logo 7^{-1}\equiv 13\pmod{15}. Isso coincide com verificar 7\cdot 13 = 91\equiv 1\pmod{15}.\n

Passo 5

Agora calculo (de forma rápida e com pequenas justificativas) os inversos para todos os elementos listados. Usarei raciocínio direto quando conveniente (produto óbvio) e já mostrei o procedimento do Euclides para o caso 7. Para cada item mostro a multiplicação que prova a congruência.
  • Para 1: claro que 1\cdot 1 = 1. Então
1^{-1}\equiv 1 \pmod{15}.
  • Para 2: procurar b tal que 2b\equiv1\pmod{15}. Testando, 2\cdot 8 = 16 \equiv 1\pmod{15}. Logo
2^{-1}\equiv 8 \pmod{15}.
  • Para 4: note que 4\cdot 4 = 16 \equiv 1\pmod{15}. Portanto
4^{-1}\equiv 4 \pmod{15}
(autoinverso).
  • Para 7: já calculado com o Euclides estendido, 7\cdot 13 = 91 \equiv 1\pmod{15}. Logo
7^{-1}\equiv 13 \pmod{15}.
  • Para 8: já que 2^{-1}\equiv 8, automaticamente 8^{-1}\equiv 2. Conferindo: 8\cdot 2 = 16 \equiv 1\pmod{15}. Então
8^{-1}\equiv 2 \pmod{15}.
  • Para 11: verificar 11\cdot 11 = 121. Como 121 = 8\cdot 15 + 1, obtemos 121\equiv 1\pmod{15}. Assim
11^{-1}\equiv 11 \pmod{15}
(autoinverso).
  • Para 13: já que 7^{-1}=13, então 13^{-1}=7. Conferindo: 13\cdot 7 = 91 \equiv 1\pmod{15}. Logo
13^{-1}\equiv 7 \pmod{15}.
  • Para 14: note que 14\equiv -1\pmod{15}. Então 14\cdot 14 \equiv (-1)(-1) \equiv 1\pmod{15}. Logo
14^{-1}\equiv 14 \pmod{15}
(autoinverso).
Esses produtos explicam e demonstram cada inverso de forma direta — é exatamente o que você pode fazer na prova: ou aplica o Euclides estendido (sistemático) ou testa alguns multiplicadores (muito rápido para números pequenos como aqui).\n

Resposta

1^{-1} \equiv 1\pmod{15}
2^{-1} \equiv 8\pmod{15}
4^{-1} \equiv 4\pmod{15}
7^{-1} \equiv 13\pmod{15}
8^{-1} \equiv 2\pmod{15}
11^{-1} \equiv 11\pmod{15}
13^{-1} \equiv 7\pmod{15}
14^{-1} \equiv 14\pmod{15}

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