Seja
um anel com unidade. Denote por
um elemento neutro de
por
um elemento neutro de
. Mostre que:
é um elemento absorvente em relação a
, ou seja,
e
, para todo
.
Passo 1
O enunciado dá um anel com unidade
. Denotamos por
o elemento neutro aditivo, isto é, para todo
vale
e por
o elemento neutro multiplicativo (que aqui não será necessário usar). O que nos pedem é mostrar que
é elemento absorvente para a multiplicação, isto é, provar as duas igualdades, válidas para todo
:
e
Informações relevantes fornecidas pelo anel (que poderemos usar): o conjunto
com
é um grupo abeliano (existe inverso aditivo para todo elemento e a soma é comutativa e associativa) e a multiplicação
é distributiva em relação a
(tanto à esquerda quanto à direita).
Passo 2
Primeiro passo concreto: usar a propriedade do neutro aditivo
. Como
é neutro para
, vale
Agora multiplicamos essa identidade (à direita) por um elemento arbitrário
. Usando a igualdade acima obtemos
Passo 3
Aplicamos a distributividade da multiplicação em relação à adição à expressão do Passo 2. A distributividade (à direita) diz que, para quaisquer
,
Tomando
e
obtemos
Combinando com o que escrevemos no Passo 2 temos a igualdade
Passo 4
Agora usamos o fato de que
é um grupo abeliano: para o elemento
existe seu inverso aditivo, que denotamos por
, e vale
Adicionando
aos dois lados da igualdade do Passo 3, obtemos
Passo 5
Agora simplificamos o lado direito usando associatividade e comutatividade da soma. Reagrupando os termos no lado direito temos
Mas
, logo o lado direito vira
O lado esquerdo da igualdade do Passo 4 é
. Portanto chegamos a
Isto prova a absorção à esquerda: para todo
,
Passo 6
Para a absorção à direita fazemos o mesmo raciocínio espelhado. Começamos com
e multiplicamos à esquerda por
:
Pela distributividade (à esquerda),
logo
Passo 7
Repetimos a técnica de cancelar somando o inverso aditivo de
. Denotando esse inverso por
e adicionando-o aos dois lados, obtemos
Como no caso anterior, o lado esquerdo é
e o lado direito reduz-se a
. Portanto
Isto prova a absorção à direita: para todo
,