Seja (A, \oplus, \odot) um anel com unidade. Denote por 0_{A} um elemento neutro de \oplus \mathrm{e} por 1_{A} um elemento neutro de \odot. Mostre que:
0_{A} é um elemento absorvente em relação a \odot, ou seja, 0_{A} \odot a=0_{A} e a \odot 0_{A}=0_{A}, para todo a \in A.

Passo 1

O enunciado dá um anel com unidade (A,\oplus,\odot). Denotamos por 0_{A} o elemento neutro aditivo, isto é, para todo x\in A vale
x\oplus 0_{A}=x\quad\text{e}\quad 0_{A}\oplus x = x,
e por 1_{A} o elemento neutro multiplicativo (que aqui não será necessário usar). O que nos pedem é mostrar que 0_{A} é elemento absorvente para a multiplicação, isto é, provar as duas igualdades, válidas para todo a\in A:
0_{A}\odot a=0_{A}
e
a\odot 0_{A}=0_{A}.
Informações relevantes fornecidas pelo anel (que poderemos usar): o conjunto A com \oplus é um grupo abeliano (existe inverso aditivo para todo elemento e a soma é comutativa e associativa) e a multiplicação \odot é distributiva em relação a \oplus (tanto à esquerda quanto à direita).

Passo 2

Primeiro passo concreto: usar a propriedade do neutro aditivo 0_{A}. Como 0_{A} é neutro para \oplus, vale
0_{A}=0_{A}\oplus 0_{A}.
Agora multiplicamos essa identidade (à direita) por um elemento arbitrário a\in A. Usando a igualdade acima obtemos
0_{A}\odot a = (0_{A}\oplus 0_{A})\odot a.

Passo 3

Aplicamos a distributividade da multiplicação em relação à adição à expressão do Passo 2. A distributividade (à direita) diz que, para quaisquer x,y,z\in A,
(x\oplus y)\odot z = x\odot z \oplus y\odot z.
Tomando x=y=0_{A} e z=a obtemos
(0_{A}\oplus 0_{A})\odot a = 0_{A}\odot a \oplus 0_{A}\odot a.
Combinando com o que escrevemos no Passo 2 temos a igualdade
0_{A}\odot a = 0_{A}\odot a \oplus 0_{A}\odot a.

Passo 4

Agora usamos o fato de que (A,\oplus) é um grupo abeliano: para o elemento 0_{A}\odot a existe seu inverso aditivo, que denotamos por -(0_{A}\odot a), e vale
0_{A}\odot a \oplus (-(0_{A}\odot a)) = 0_{A}.
Adicionando -(0_{A}\odot a) aos dois lados da igualdade do Passo 3, obtemos
0_{A}\odot a \oplus (-(0_{A}\odot a)) = \big(0_{A}\odot a \oplus 0_{A}\odot a\big) \oplus (-(0_{A}\odot a)).

Passo 5

Agora simplificamos o lado direito usando associatividade e comutatividade da soma. Reagrupando os termos no lado direito temos
\big(0_{A}\odot a \oplus 0_{A}\odot a\big) \oplus (-(0_{A}\odot a)) = 0_{A}\odot a \oplus \big(0_{A}\odot a \oplus (-(0_{A}\odot a))\big).
Mas 0_{A}\odot a \oplus (-(0_{A}\odot a))=0_{A}, logo o lado direito vira
0_{A}\odot a \oplus 0_{A} = 0_{A}\odot a.
O lado esquerdo da igualdade do Passo 4 é 0_{A}. Portanto chegamos a
0_{A} = 0_{A}\odot a.
Isto prova a absorção à esquerda: para todo a\in A,
0_{A}\odot a = 0_{A}.

Passo 6

Para a absorção à direita fazemos o mesmo raciocínio espelhado. Começamos com 0_{A}=0_{A}\oplus 0_{A} e multiplicamos à esquerda por a:
a\odot 0_{A} = a\odot(0_{A}\oplus 0_{A}).
Pela distributividade (à esquerda),
a\odot(0_{A}\oplus 0_{A}) = a\odot 0_{A} \oplus a\odot 0_{A},
logo
a\odot 0_{A} = a\odot 0_{A} \oplus a\odot 0_{A}.

Passo 7

Repetimos a técnica de cancelar somando o inverso aditivo de a\odot 0_{A}. Denotando esse inverso por -(a\odot 0_{A}) e adicionando-o aos dois lados, obtemos
a\odot 0_{A} \oplus (-(a\odot 0_{A})) = \big(a\odot 0_{A} \oplus a\odot 0_{A}\big) \oplus (-(a\odot 0_{A})).
Como no caso anterior, o lado esquerdo é 0_{A} e o lado direito reduz-se a a\odot 0_{A}. Portanto
0_{A} = a\odot 0_{A}.
Isto prova a absorção à direita: para todo a\in A,
a\odot 0_{A} = 0_{A}.

Resposta

0_{A}\odot a=0_{A} para todo a\in A.
a\odot 0_{A}=0_{A} para todo a\in A.

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