Seja p um número primo. Considere \mathbb{Z}[\sqrt{p}]=\{a+b \sqrt{p}: a, b \in \mathbb{Z}\} e defina as seguintes operações neste conjunto:
\begin{aligned} & (a+b \sqrt{p}) \oplus(c+d \sqrt{p})=(a+c)+(b+d) \sqrt{p} \\\ & (a+b \sqrt{p}) \odot(c+d \sqrt{p})=(a c+p b d)+(a d+b c) \sqrt{p} \end{aligned}
a) Mostre que ( A, \oplus, \odot ) um anel comutativo com unidade.
b) (A, \oplus, \odot) é um domínio?
c) ( A, \oplus, \odot ) é um corpo?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A=\mathbb{Z}[\sqrt{p}]=\{a+b\sqrt{p}:a,b\in\mathbb{Z}\} onde p é um número primo, e define as operações para x=a+b\sqrt{p} e y=c+d\sqrt{p}:
x\oplus y=(a+c)+(b+d)\sqrt{p},
x\odot y=(ac+ pbd)+(ad+bc)\sqrt{p}.
O enunciado pede três coisas:
  1. Mostrar que (A,\oplus,\odot) é um anel comutativo com unidade.
  2. Verificar se (A,\oplus,\odot) é um domínio (ou seja, se não tem divisores de zero).
  3. Verificar se (A,\oplus,\odot) é um corpo (campo).
As informações relevantes são: a,b,c,d são inteiros; p é primo (em particular p não é um quadrado perfeito, logo \sqrt{p} é irracional). Não vamos resolver nada ainda aqui — apenas organizei o que é pedido e o que foi dado.

Passo 2

Começo mostrando propriedades básicas de fechamento e as propriedades de adição (grupo abeliano). Fechamento: se x=a+b\sqrt{p} e y=c+d\sqrt{p} com a,b,c,d\in\mathbb{Z}, então
x\oplus y=(a+c)+(b+d)\sqrt{p}
tem coeficientes a+c e b+d que são inteiros, logo x\oplus y\in A. De forma semelhante,
x\odot y=(ac+pbd)+(ad+bc)\sqrt{p}
tem coeficientes ac+pbd e ad+bc inteiros, logo x\odot y\in A. Assim A é fechado para \oplus e \odot.

Passo 3

Propriedades de (A,\oplus) ser um grupo abeliano (mais detalhado e didático).
  • Associatividade da adição: para x=a+b\sqrt{p}, y=c+d\sqrt{p}, z=e+f\sqrt{p},
(x\oplus y)\oplus z = \big((a+c)+(b+d)\sqrt{p}\big)\oplus (e+f\sqrt{p})
= (a+c+e)+(b+d+f)\sqrt{p}.
E
x\oplus(y\oplus z) = (a+(c+e))+(b+(d+f))\sqrt{p} = (a+c+e)+(b+d+f)\sqrt{p}.
Como a adição em \mathbb{Z} é associativa, as duas expressões coincidem; logo \oplus é associativa.
  • Elemento neutro para \oplus: 0_A=0+0\sqrt{p}. De fato,
x\oplus 0_A = (a+0)+(b+0)\sqrt{p} = a+b\sqrt{p}=x.
  • Inverso aditivo: para x=a+b\sqrt{p} tomamos -x = (-a)+(-b)\sqrt{p}, que pertence a A e satisfaz
x\oplus(-x)=(a-a)+(b-b)\sqrt{p}=0_A.
  • Comutatividade da adição é clara porque soma de inteiros é comutativa:
x\oplus y=(a+c)+(b+d)\sqrt{p}=(c+a)+(d+b)\sqrt{p}=y\oplus x.
Portanto (A,\oplus) é um grupo abeliano.

Passo 4

Propriedades da multiplicação \odot: comutatividade, associatividade, elemento neutro e distributividade.
  • Comutatividade: trocando x por y temos
x\odot y=(ac+pbd)+(ad+bc)\sqrt{p}
y\odot x=(ca+ pdb)+(cb+da)\sqrt{p},
e como ac=ca, bd=db, ad=da, bc=cb em \mathbb{Z}, segue x\odot y=y\odot x.
  • Identidade multiplicativa: 1_A=1+0\sqrt{p}. Verifico
(1+0\sqrt{p})\odot (a+b\sqrt{p})=(1\cdot a + p\cdot 0\cdot b)+(1\cdot b +0\cdot a)\sqrt{p}=a+b\sqrt{p}.
Logo 1_A é unidade.
  • Associatividade da multiplicação: mostro por cálculo direto (é mecânico, mas importante entender o padrão). Tome x=a+b\sqrt{p}, y=c+d\sqrt{p}, z=e+f\sqrt{p}. Primeiro compute x\odot y:
x\odot y=(ac+pbd)+(ad+bc)\sqrt{p}.
Agora (x\odot y)\odot z é
\big((ac+pbd)+ (ad+bc)\sqrt{p}\big)\odot (e+f\sqrt{p}).
Usando a regra, a parte racional (coeficiente de 1) fica
(ac+pbd)e + p(ad+bc)f = ace + p b d e + p a d f + p b c f.
A parte do \sqrt{p} fica
(ac+pbd)f + (ad+bc)e = acf + p b d f + a d e + b c e.
Agora calcule x\odot(y\odot z). Primeiro
y\odot z=(ce + pdf) + (cf+de)\sqrt{p}.
Então
x\odot(y\odot z) = (a+b\sqrt{p})\odot\big((ce+pdf)+(cf+de)\sqrt{p}\big).
A parte racional é
a(ce+pdf) + p b (cf+de) = ace + a p d f + p b c f + p b d e,
que é igual à expressão anterior (rearranjando os termos). A parte do \sqrt{p} é
a(cf+de) + b(ce+pdf) = acf + ade + bce + p b d f,
que é igual à parte em (x\odot y)\odot z (novamente rearranjando). Portanto as duas formas coincidem, logo a multiplicação é associativa.
  • Distributividade: verifico x\odot(y\oplus z)=x\odot y \oplus x\odot z. Escrevendo
y\oplus z = (c+e) + (d+f)\sqrt{p},
temos
x\odot(y\oplus z) = \big(a(c+e)+ p b(d+f)\big) + \big(a(d+f)+ b(c+e)\big)\sqrt{p}.
Expandindo os termos e comparando com
x\odot y \oplus x\odot z = \big(ac+pbd\big)+\big(ad+bc\big)\sqrt{p} \;\oplus\; \big(ae+ p b f\big)+\big(af+be\big)\sqrt{p},
obtemos exatamente os mesmos coeficientes. A distributividade pela direita é análoga (pela comutatividade da multiplicação já feita, a distributividade à direita segue da da esquerda).
Assim verificamos todas as propriedades que definem um anel comutativo com unidade: (A,\oplus) é grupo abeliano, \odot é associativa e comutativa, há unidade multiplicativa, e \odot distribui sobre \oplus.

Passo 5

Conclusão da parte (a): com base nas verificações explícitas acima, (A,\oplus,\odot) é um anel comutativo com unidade. (Já mostrei fechamento, associatividade e comutatividade de \oplus, existência de 0_A e inversos aditivos; associatividade, comutatividade e unidade para \odot; e distributividade.)

Passo 6

Agora trato a parte (b): verificar se (A,\oplus,\odot) é um domínio (ou seja, não tem divisores de zero). Primeiro dou a definição de domínio de forma simples: é um anel comutativo com unidade, não nulo, e tal que se xy=0 então x=0 ou y=0.
Estratégia prática e didática: embedamos A nos números reais. Considere a aplicação
\varphi:A\to\mathbb{R},\qquad \varphi(a+b\sqrt{p})=a+b\sqrt{p},
onde do lado direito já interpreto a+b\sqrt{p} como número real (lembre que p é primo e, portanto, não quadrado perfeito, então \sqrt{p} é irracional real). Verifico que \varphi é um homomorfismo de anéis: para quaisquer x,y\in A temos \varphi(x\oplus y)=\varphi(x)+\varphi(y) e \varphi(x\odot y)=\varphi(x)\cdot\varphi(y) (é cálculo direto com as definições dadas). Agora verificar injetividade: se \varphi(a+b\sqrt{p})=0 então a+b\sqrt{p}=0 como número real. Se b\neq0 isso implica \sqrt{p}=-a/b que é racional, o que é impossível porque \sqrt{p} é irracional; logo necessariamente b=0 e então a=0. Assim o núcleo de \varphi é só o elemento zero, então \varphi é injetiva.
Como \varphi injeta A em \mathbb{R}, e \mathbb{R} é um domínio (produto de dois números reais não nulos nunca é zero), segue que A também não pode ter divisores de zero: se xy=0 em A, aplicando \varphi obtemos \varphi(x)\varphi(y)=0 em \mathbb{R}, então \varphi(x)=0 ou \varphi(y)=0, e pela injetividade isso implica x=0 ou y=0. Portanto A é um domínio integral.
Observação didática: uma alternativa é notar que A\cong\mathbb{Z}[X]/(X^2-p) e X^2-p é produto de polinômios distintos? Mas a argumentação via imersão em \mathbb{R} é mais direta e usa só que \sqrt{p} é irracional.

Passo 7

Parte (c): verificar se (A,\oplus,\odot) é um corpo. Definição curta: corpo (campo) é um anel comutativo com unidade no qual todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo dentro do anel.
Para mostrar que A não é corpo basta encontrar um elemento não nulo em A que não tem inverso em A. Um candidato natural são inteiros como 2 (isto é, 2+0\sqrt{p}\in A). Suponha, para chegar a contradição, que 2 tem inverso em A. Então existir u=a+b\sqrt{p}\in A tal que
2\odot (a+b\sqrt{p}) = 1.
Calculando o produto,
2\odot (a+b\sqrt{p}) = (2a + 2\cdot 0\cdot b p) + (2b + 2\cdot 0\cdot a)\sqrt{p} = 2a + 2b\sqrt{p}.
(mais simples: multiplicar por 2+0\sqrt{p} só escala os coeficientes por 2). Igualando a 1+0\sqrt{p} obtemos o sistema em \mathbb{Z}:
2a = 1,\qquad 2b = 0.
Da segunda equação vem b=0. Da primeira viria a=\tfrac{1}{2}, que não é inteiro, logo não existe solução a,b\in\mathbb{Z}. Assim 2 não tem inverso em A. Logo nem todo elemento não nulo tem inverso em A, portanto A não é corpo.
Observação: a mesma ideia vale para qualquer inteiro n com |n|\ge2: não terá inverso em A porque o sistema na=1 exige a=1/n\notin\mathbb{Z}. Assim só os inteiros \pm1 são invertíveis entre os inteiros dentro de A (existem também outras unidades possíveis dependendo de p, mas isto não torna o anel um corpo).

Resposta

(a) (A,\oplus,\odot) é um anel comutativo com unidade.
(b) (A,\oplus,\odot) é um domínio integral (não tem divisores de zero).
(c) (A,\oplus,\odot) não é um corpo (por exemplo, 2 não possui inverso em A).

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