Seja
um número primo. Considere
e defina as seguintes operações neste conjunto:
a) Mostre que (
) um anel comutativo com unidade.
b)
é um domínio?
c) (
) é um corpo?
b)
c) (
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
onde
é um número primo, e define as operações para
e
:
O enunciado pede três coisas:
- Mostrar que
é um anel comutativo com unidade. - Verificar se
é um domínio (ou seja, se não tem divisores de zero). - Verificar se
é um corpo (campo).
As informações relevantes são:
são inteiros;
é primo (em particular
não é um quadrado perfeito, logo
é irracional). Não vamos resolver nada ainda aqui — apenas organizei o que é pedido e o que foi dado.
Passo 2
Começo mostrando propriedades básicas de fechamento e as propriedades de adição (grupo abeliano). Fechamento: se
e
com
, então
tem coeficientes
e
que são inteiros, logo
. De forma semelhante,
tem coeficientes
e
inteiros, logo
. Assim
é fechado para
e
.
Passo 3
Propriedades de
ser um grupo abeliano (mais detalhado e didático).
- Associatividade da adição: para
, , ,
E
Como a adição em
é associativa, as duas expressões coincidem; logo
é associativa.
- Elemento neutro para
: . De fato,
- Inverso aditivo: para
tomamos , que pertence a e satisfaz
- Comutatividade da adição é clara porque soma de inteiros é comutativa:
Portanto
é um grupo abeliano.
Passo 4
Propriedades da multiplicação
: comutatividade, associatividade, elemento neutro e distributividade.
- Comutatividade: trocando
por temos
e como
,
,
,
em
, segue
.
- Identidade multiplicativa:
. Verifico
Logo
é unidade.
- Associatividade da multiplicação: mostro por cálculo direto (é mecânico, mas importante entender o padrão). Tome
, , . Primeiro compute :
Agora
é
Usando a regra, a parte racional (coeficiente de
) fica
A parte do
fica
Agora calcule
. Primeiro
Então
A parte racional é
que é igual à expressão anterior (rearranjando os termos). A parte do
é
que é igual à parte em
(novamente rearranjando). Portanto as duas formas coincidem, logo a multiplicação é associativa.
- Distributividade: verifico
. Escrevendo
temos
Expandindo os termos e comparando com
obtemos exatamente os mesmos coeficientes. A distributividade pela direita é análoga (pela comutatividade da multiplicação já feita, a distributividade à direita segue da da esquerda).
Assim verificamos todas as propriedades que definem um anel comutativo com unidade:
é grupo abeliano,
é associativa e comutativa, há unidade multiplicativa, e
distribui sobre
.
Passo 5
Conclusão da parte (a): com base nas verificações explícitas acima,
é um anel comutativo com unidade. (Já mostrei fechamento, associatividade e comutatividade de
, existência de
e inversos aditivos; associatividade, comutatividade e unidade para
; e distributividade.)
Passo 6
Agora trato a parte (b): verificar se
é um domínio (ou seja, não tem divisores de zero). Primeiro dou a definição de domínio de forma simples: é um anel comutativo com unidade, não nulo, e tal que se
então
ou
.
Estratégia prática e didática: embedamos
nos números reais. Considere a aplicação
onde do lado direito já interpreto
como número real (lembre que
é primo e, portanto, não quadrado perfeito, então
é irracional real). Verifico que
é um homomorfismo de anéis: para quaisquer
temos
e
(é cálculo direto com as definições dadas). Agora verificar injetividade: se
então
como número real. Se
isso implica
que é racional, o que é impossível porque
é irracional; logo necessariamente
e então
. Assim o núcleo de
é só o elemento zero, então
é injetiva.
Como
injeta
em
, e
é um domínio (produto de dois números reais não nulos nunca é zero), segue que
também não pode ter divisores de zero: se
em
, aplicando
obtemos
em
, então
ou
, e pela injetividade isso implica
ou
. Portanto
é um domínio integral.
Observação didática: uma alternativa é notar que
e
é produto de polinômios distintos? Mas a argumentação via imersão em
é mais direta e usa só que
é irracional.
Passo 7
Parte (c): verificar se
é um corpo. Definição curta: corpo (campo) é um anel comutativo com unidade no qual todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo dentro do anel.
Para mostrar que
não é corpo basta encontrar um elemento não nulo em
que não tem inverso em
. Um candidato natural são inteiros como
(isto é,
). Suponha, para chegar a contradição, que
tem inverso em
. Então existir
tal que
Calculando o produto,
(mais simples: multiplicar por
só escala os coeficientes por
). Igualando a
obtemos o sistema em
:
Da segunda equação vem
. Da primeira viria
, que não é inteiro, logo não existe solução
. Assim
não tem inverso em
. Logo nem todo elemento não nulo tem inverso em
, portanto
não é corpo.
Observação: a mesma ideia vale para qualquer inteiro
com
: não terá inverso em
porque o sistema
exige
. Assim só os inteiros
são invertíveis entre os inteiros dentro de
(existem também outras unidades possíveis dependendo de
, mas isto não torna o anel um corpo).
Resposta
(a)
é um anel comutativo com unidade.
(b) é um domínio integral (não tem divisores de zero).
(c) não é um corpo (por exemplo,
não possui inverso em
).
(b)
(c)